计算极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2}{)}^n}$

一、题目

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2}{)}^n}=?$$

其中，$x$ $>$ $0$.

对变量取值范围的讨论是解答本题的重点，详情见下文……

难度评级：

二、解析

本题中存在两个变量，一个是 $n$, 另一个是 $x$——其中，$n$ 的变化方式题目中已经给出，即 $n$ $\to$ $\mathrm{\infty }$——但是，我们现在只知道 $x$ $>$ $0$, 却不知道 $x$ 取值的具体细节。

观察题目可知，对 $x$ 的取值是需要分类讨论的，最直接的地方就是：

当 $x$ $>$ $1$ 时，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $x^n$ 远大于 $1$;

但当 $x$ $<$ $1$, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $x^n$ 则远小于 $1$.

Next

即：

$$\{\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^n\to \mathrm{\infty },& x>1\\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^n=1,& x=1\\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^n\to 0,& 0<x<1\end{array}$$

Next

进一步观察可知：

$$(\frac{x^2}{2}{)}^n=(\frac{x}{2}\cdot x{)}^n=x^n\cdot (\frac{x}{2}{)}^n.$$

因此（$n\to \mathrm{\infty }$ 时）：

当 $x$ $>$ $2$ 时，$x^n$ $\cdot$ $(\frac{x}{2}{)}^n$ 会变得远大于 $1$ 和 $x^n$；

当 $x$ $<$ $2$ 时，$x^n$ $\cdot$ $(\frac{x}{2}{)}^n$ 会变得远小于 $x^n$.

Next

于是，我们需要把 $x$ 的取值范围划分为如下三段：

$0$ $<$ $x$ $<$ $1$

$1$ $⩽$ $x$ $<$ $2$

$x$ $⩾$ $2$

Next

进而，对于 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2}{)}^n}$ 而言：

当 $0$ $<$ $x$ $<$ $1$ 时，$x^n$ $\to$ $0$, $(\frac{x^2}{2}{)}^n$ $\to$ $0$.

当 $1$ $⩽$ $x$ $<$ $2$ 时，$x^n$ 远大于 $1$ 和 $(\frac{x^2}{2}{)}^n$.

当 $x$ $⩾$ $2$ 时，$(\frac{x^2}{2}{)}^n$ 远大于 $1$ 和 $x_n$.

Next

综上可知：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2}{)}^n}=$$

$$\{\begin{array}{cc}1,& 0<x<1\\ \sqrt[n]{x^n},& 1⩽x<2\\ \sqrt[n]{(\frac{x^2}{2}{)}^n},& x⩾2\end{array}=$$

$$\{\begin{array}{cc}1,& 0<x<1\\ x,& 1⩽x<2\\ \frac{x^2}{2},& x⩾2\end{array}$$

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