计算极限 $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $($ $x$ $+$ $\sqrt{1 + x^{2}}$ $)^{\frac{1}{x}}$

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} ( x + \sqrt{1 + x^{2}} )^{\frac{1}{x}} = ?
$$

难度评级：

二、解析

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} ( x + \sqrt{1 + x^{2}} )^{\frac{1}{x}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} e^{\frac{1}{x} \cdot \ln ( x + \sqrt{1 + x^{2}} )} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} e^{\frac{\ln ( x + \sqrt{1 + x^{2}} )}{x}} \Rightarrow
$$

Next

指数部分是 $\frac{+ \infty}{+ \infty}$ 的形式，对指数部分使用洛必达法则 $\Rightarrow$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} e^{\frac{\frac{1 + \frac{2x}{\sqrt{1 + x^{2}}}}{x + \sqrt{1 + x^{2}}}}{1}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} e^{\frac{1 + \frac{2x}{\sqrt{1 + x^{2}}}}{x + \sqrt{1 + x^{2}}}} \Rightarrow
$$

Next

当 $x$ $\rightarrow$ $+ \infty$ 时，$\sqrt{1 + x^{2}}$ $\sim$ $\sqrt{x^{2}}$ $\sim$ $x$ $\Rightarrow$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} e^{\frac{1 + \frac{2x}{x}}{x + x}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} e^{\frac{1 + 2}{2x}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} e^{\frac{3}{2x}} = e^{0} = 1.
$$

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