计算微分方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $2m{y}^{\prime }$ $+$ $n^{2}y$ $=$ $0$ 满足一定条件特解的无穷限反常积分

一、题目

设 $y$ $=$ $y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $2m{y}^{\prime }$ $+$ $n^{2}y$ $=$ $0$ 满足 $y(0)$ $=$ $a$ 与 $y^{\prime }(0)$ $=$ $b$ 的特解，其中 $m$ 和 $n$ 为常数，且 $m$ $>$ $n$ $>$ $0$, 则 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}$ $y(x)$ $\mathrm{d}x$ $=$ $?$

二、解析

观察可知，题目所给的微分方程是 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程 ，要求解的是该微分方程满足给定条件的特解的 无 穷 限 反 常 积 分 。

Next

首先，由微分方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $2m{y}^{\prime }$ $+$ $n^{2}y$ $=$ $0$ 可知，其 特 征 方 程 为：

$${\lambda }^2+2m\lambda +n^2=0\mathrm{①}$$

于 是 ：

$$\lambda =\frac{-2m\pm \sqrt{4m^2–4n^2}}{2}\Rightarrow$$

$$\lambda =\frac{-2m\pm 2\sqrt{m^2–n^2}}{2}\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=-m+\sqrt{m^2–n^2}\mathrm{②}$$

$${\lambda }_2=-m–\sqrt{m^2–n^2}\mathrm{③}$$

Next

由于 ${\lambda }_1$ $\ne$ ${\lambda }_2$, 于是可知，该齐次微分方程 通 解 的 形 式 可设为：

$$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}\mathrm{④}$$

Next

由于在题目中并 不 显 含 要求解的目标单元 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}$ $y(x)$ $\mathrm{d}x$, 因此，我们需要通过接下来的步骤，将 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}$ $y(x)$ $\mathrm{d}x$ 构 造 出来。

由微分方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $2m{y}^{\prime }$ $+$ $n^{2}y$ $=$ $0$ 可 得 ：

$$y^{\prime \prime }+2m{y}^{\prime }+n^{2}y=0\Rightarrow$$

为所有式子 全 部 添 加 无穷限反常积分运算 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}$:

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{y}^{\prime \prime }\mathrm{d}x+{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}2m{y}^{\prime }\mathrm{d}x+{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{n}^{2}y\mathrm{d}x={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}0\mathrm{d}x\Rightarrow$$

将 常 数 提取到积分运算符号前：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{y}^{\prime \prime }\mathrm{d}x+2m{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{y}^{\prime }\mathrm{d}x+n^2{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}y\mathrm{d}x={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}0\mathrm{d}x\Rightarrow$$

把当前能够较容易进行积分运算表示的式子进行 积 分 运 算 ：

$$y^{\prime }{|}_0^{+\mathrm{\infty }}+2my{|}_0^{+\mathrm{\infty }}+n^2{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}y\mathrm{d}x=0\Rightarrow$$

${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}$ $y^{\prime \prime }$ $\mathrm{d}x$ $=$ $y^{\prime }$ ${|}_0^{+\mathrm{\infty }}$, $2m$ ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}$ $y^{\prime }$ $\mathrm{d}x$ $=$ $2my$ ${|}_0^{+\mathrm{\infty }}$, ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}$ $0$ $\mathrm{d}x$ $=$ $0$.

$$y^{\prime }(+\mathrm{\infty })–y^{\prime }(0)+2m[y(+\mathrm{\infty })–y(0)]+n^2{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}y\mathrm{d}x=0\Rightarrow$$

$$n^2{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}y\mathrm{d}x=y^{\prime }(0)–y^{\prime }(+\mathrm{\infty })+2m[y(0)–y(+\mathrm{\infty })]\Rightarrow$$

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}y\mathrm{d}x=\frac{y^{\prime }(0)–y^{\prime }(+\mathrm{\infty })+2m[y(0)–y(+\mathrm{\infty })]}{n^2}\mathrm{⑤}$$

由题目可知，$y$ $=$ $y(x)$, 因此，${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}$ $y$ $\mathrm{d}x$ 就是 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}$ $y(x)$ $\mathrm{d}x$.

Next

由前面的运算 可 知 ：

$$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}\mathrm{⑥}$$

进而 可 得 ：

$$y^{\prime }=C_1{\lambda }_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{\lambda }_2{e}^{{\lambda }_{2}x}\mathrm{⑦}$$

Next

又由于，$m$ $>$ $n$ $>$ $0$, 因 此 ：

$$0<\sqrt{m^2–n^2}<m.$$

于 是 ：

$${\lambda }_1=–m+\sqrt{m^2–n^2}<0.$$

$${\lambda }_2=–m–\sqrt{m^2–n^2}<0.$$

Next

进而，当 $x$ $\to$ $+\mathrm{\infty }$ 时，有 ：

$$e^{{\lambda }_{1}x}\to 0$$

$$e^{{\lambda }_{2}x}\to 0$$

Next

因 而 ：

$$y(+\mathrm{\infty })=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y(x)=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}]=0.$$

Next

$$y^{\prime }(+\mathrm{\infty })=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{y}^{\prime }(x)=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[C_1{\lambda }_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{\lambda }_2{e}^{{\lambda }_{2}x}]=0.$$

即 ：

$$y^{\prime }(+\mathrm{\infty })=0\mathrm{⑧}$$

$$y(+\mathrm{\infty })=0\mathrm{⑨}$$

Next

又由题目条件 知 ：

$$y(0)=a$$

$$y^{\prime }(0)=b$$

Next

综 上 可 知 ：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}y\mathrm{d}x=\frac{y^{\prime }(0)–y^{\prime }(+\mathrm{\infty })+2m[y(0)–y(+\mathrm{\infty })]}{n^2}\Rightarrow$$

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}y\mathrm{d}x=\frac{b+2ma}{n^2}$$

Next

即 ：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}y(x)\mathrm{d}x=\frac{2ma+b}{n^2}$$

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