借助泰勒定理记忆等价无穷小：$e^{x}$ $-$ $1$ $\sim$ $x$

一、问题描述

当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，有一个重要的等价无穷小：

$$
\textcolor{orange}{e^{x} – 1 \sim x}
$$

但是，有时候我们可能会将该等价无穷小错记成下面这种形式：

$$
\textcolor{gray}{1 – e^{x} \sim x}
$$

二、解决方案

那么，如何牢固的掌握 $\textcolor{orange}{e^{x}}$ $\textcolor{orange}{-}$ $\textcolor{orange}{1}$ $\textcolor{orange}{\sim}$ $\textcolor{orange}{x}$ 这种正确的等价无穷小的形式呢——

可以借助泰勒定理（或者说“泰勒公式”）辅助记忆等价无穷小 $e^{x}$ $-$ $1$ $\sim$ $x$.

如果对泰勒公式不熟悉，可以通过这篇文章回顾一下泰勒公式 。

根据泰勒公式，在 $x$ $=$ $0$ 时，我们有：

$$
e^{x} =
$$

$$
\frac{e^{0}}{0!} \cdot 1 + \frac{e^{0}}{1!} \cdot x + \frac{e^{0}}{2!} \cdot x^{2} =
$$

$$
1 + x + \frac{1}{2} x^{2}.
$$

Next

于是：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \Big[ e^{x} \sim (1 + x) \Big] \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \Big[ (\textcolor{orange}{e^{x}} \textcolor{red}{-} \textcolor{cyan}{1}) \sim \textcolor{white}{x} \Big] \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \Big[ (\textcolor{cyan}{1} – \textcolor{orange}{e^{x}}) \sim \textcolor{red}{-} \textcolor{white}{x} \Big]
$$

Tips

如果对其他的等价无穷小有疑问，也可以借助类似上面的方法，通过计算其在 $x$ $=$ $0$ 处的泰勒公式展开式进行辅助判断。

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