方向导数的定义/方向导数的存在性证明（B013）

问题

已知 $\mathit{l}$ 为平面上以点 $(x_0,y_0)$ 为起点, 以 $(\cos \alpha ,\cos \beta )$ 为方向向量的射线, 若将函数 $z$ $=$ $f(x,y)$ 限制在射线 $\mathit{l}$ 上, 则，以下哪个选项对应的极限成立，可以说明函数 $z$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处沿射线 $\mathit{l}$ 方向的方向导数 $\frac{\partial f}{\partial \mathit{l}}(x_0,y_0)$ 存在？

选项

[A].   $\underset{t\to 0^{-}}{lim}$ $\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}$, $t$ $⩾$ $0$

[B].   $\underset{t\to 0^{+}}{lim}$ $\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}$, $t$ $⩾$ $1$

[C].   $\underset{t\to 0^{+}}{lim}$ $\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}$, $t$ $⩾$ $0$

[D].   $\underset{t\to 0^{+}}{lim}$ $\frac{f(x_0+\cos \alpha ,y_0+\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}$, $t$ $⩾$ $0$

   答 案   

$\underset{t\to 0^{+}}{lim}$ $\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}$, $t$ $⩾$ $0$