方向导数的定义/方向导数的存在性证明（B013）

问题

已知 $\boldsymbol{l}$ 为平面上以点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为起点, 以 $(\cos \alpha, \cos \beta)$ 为方向向量的射线, 若将函数 $z$ $=$ $f(x, y)$ 限制在射线 $\boldsymbol{l}$ 上, 则，以下哪个选项对应的极限成立，可以说明函数 $z$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处沿射线 $\boldsymbol{l}$ 方向的方向导数 $\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}} \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 存在？

选项

[A].   $\lim _{t \rightarrow 0^{+}}$ $\frac{f\left(x_{0}+\cos \alpha, y_{0}+\cos \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t}$, $t$ $\geqslant$ $0$

[B].   $\lim _{t \rightarrow 0^{-}}$ $\frac{f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \cos \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t}$, $t$ $\geqslant$ $0$

[C].   $\lim _{t \rightarrow 0^{+}}$ $\frac{f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \cos \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t}$, $t$ $\geqslant$ $1$

[D].   $\lim _{t \rightarrow 0^{+}}$ $\frac{f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \cos \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t}$, $t$ $\geqslant$ $0$

   答 案   

$\lim _{t \rightarrow 0^{+}}$ $\frac{f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \cos \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t}$, $t$ $\geqslant$ $0$