一、题目描述
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{(1+\frac{1}{x})^{x^{2}}}{e^{x}} = ?
$$
二、思路分析
虽然在本题中有 $x$ $\rightarrow$ $+ \infty$, 但由于存在 $\frac{1}{x}$, 即 $\frac{1}{x}$ $\rightarrow$ $0$, 因此，我们仍然需要考虑通过对式子进行变形的方式，借助无穷小的性质，完成解题。
三、解答过程
（下方标红的部分为关键解题步骤。）
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{(1+\frac{1}{x})^{x^{2}}}{e^{x}} =
$$
$$
\textcolor{Red}{
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{e^{\ln \Big[(1+\frac{1}{x})^{x^{2}} \Big]}}{e^{x}}} =
$$
$$
\textcolor{Red}{
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{e^{x^{2} \ln (1+\frac{1}{x})}}{e^{x}}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} e^{ x^{2} \ln (1+\frac{1}{x}) – x} =
$$
$$
\textcolor{Red}{
e^{ \lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2} \ln (1+\frac{1}{x}) – x}} =
$$
$$
\textcolor{Red}{
e^{ \lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2} \Big[\ln (1+\frac{1}{x}) – \frac{1}{x} \Big]}} =
$$
$$
\textcolor{Red}{
e^{ \lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2} \Big[ \frac{-1}{2} (\frac{1}{x})^{2} \Big]}} =
$$
$$
e^{ \lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2} (\frac{-1}{2x^{2}})} =
$$
$$
e^{ \lim_{x \rightarrow + \infty} (\frac{-x^{2}}{2x^{2}})} =
$$
$$
e^{ \lim_{x \rightarrow + \infty} (\frac{-1}{2})} =
$$
$$
\textcolor{Red}{
e^{\frac{-1}{2}}}.
$$