考研数学三归档 - 第10页共10页

借助二次方程求解未知矩阵

已知 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B$ 满足：

${\begin{cases} A = \frac{1}{3} (B + E) \\ A^{2} = A \end{cases}$

则：

$B = ?$

难度评级：

根据概率论中的摩根律，我们知道，对于事件 $A$ 和事件 $B$ , 有：

$\begin{aligned} \overset{―}{A \cup B} & = \bar{A} \cap \bar{B} \\ \overset{―}{A \cap B} & = \bar{A} \cup \bar{B} \end{aligned}$

有关摩根律的推导和理解有很多种方式方法，在本文中，「荒原之梦考研数学」将对韦恩图（Venn）进行改进，从而更好的解释摩根律。

难度评级：

已知三个事件 $A$ , $B$ , $C$ , $P (A \cup B)$ $=$ $0$ , 则以下关于事件 $\bar{A}$ , $\bar{B}$ , $\bar{C}$ ^[Note-01] 的说法中，正确的是哪个？

[A]. 两两独立，但不一定三三独立

[B]. 全部相互独立 ^[Note-02]

[C]. 一定不两两独立

[D]. 不一定两两独立

难度评级：

通过本文，我们将理解为什么对于 $n$ 阶矩阵 $A$ , 如果 $A^{2} = O$ , 则下式成立：

$r (A) ⩽ \frac{n}{2}$