标签： 线性代数基础

一、前言

如果存在可逆矩阵 $P$, 使得 $P^{-1}AP=B$ 成立，则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作：

$$A\sim B$$

那么，相似矩阵之间都有哪些性质呢？下面的内容就汇总了考研数学中所需掌握的相似矩阵的性质。

一、前言

已知 $A$ 和 $B$ 均为 $n$ 阶 可逆矩阵，以下是其性质汇总。

一、前言

你是否有这样的疑问：若一个 $n$ 阶矩阵的秩为 $k$, 那是否意味着该矩阵的任意 $k-1$ 阶子式都不为零？（其中，$k–1>0$ 且 $k$ 为正整数。）

下面通过详细的分析以及一个易于理解的比喻就可以让我们搞明白这个问题。

一、前言

初等变换可以帮助我们对行列式进行化简操作，但是，在使用初等变换化简行列式的时候也要注意，因为，初等变换是有可能改变行列式原本数值的哦~

一、前言

我们都知道，$3$ 阶行列式是可以利用主副对角线计算出具体数值的，高于 $3$ 阶的 $n$ 阶行列式虽然不能这么计算，但是也有自己的计算公式——借助“逆序”这一工具，我们可以求解任意阶数的行列式的值。

Tips

关于逆序数的计算方法， 可以参考《你知道怎么判断一组数字的逆序数吗？》这篇文章。

一、前言

你知道为什么当矩阵各行元素之和等于一个数 $a$ 时，$a$ 就是一定是该矩阵的特征值之一吗？

一、前言

线性相关的向量组内各个向量一定都能互相线性表出吗？不一定哦！

一、前言

我们知道：

$n$ 阶矩阵 $A$ 可逆 $\iff$ $|A|\ne 0$

但你知道为什么会有上面这个关系吗？

一、前言

你是否遇到过求解一个矩阵 $3$ 次幂、$5$ 次幂或者更高次幂的情况——在这种情况下，我们肯定不能直接求解，首先应该观察该矩阵的特征，并利用一些公式进行计算。

下面就是求解矩阵多次幂的时候可能会用到的一些公式。

难度评级：