向量组线性相关的常用结论归档

$n$ $+$ $1$ 个 $n$ 维向量的性质（C016）

问题

根据向量组线性相关的性质，对于

n + 1

个

n

维向量而言，以下结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. 一定线性相关

[B]. 可能线性无关

[C]. 可能线性相关

[D]. 一定线性无关

答案

$n + 1$ 个 $n$ 维向量一定线性相关

$n$ 个线性相关的 $n$ 维向量的性质（C016）

问题

已知，

n

个

n

维向量

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{n}

线性相关，则行列式

| α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} |

具有什么特点？

选项

[A].

| α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} |

=

0

[B].

| α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} |

>

1

[C].

| α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} |

>

0

[D].

| α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} |

\neq

0

答案

$| α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} |$ $=$ $0$

向量组线性相关的充要条件：所形成的矩阵的秩（C016）

问题

若向量组

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

线性相关，则以下关于

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

的结论中，正确的是哪个？

选项

[A].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

⩽

m

[B].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

=

m

[C].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

<

m

[D].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

⩾

m

答案

向量组 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{m}$ 线性相关
$\Leftrightarrow$
$r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})$ $<$ $m$

向量组线性相关的充要条件：齐次线性方程组的解（C016）

问题

若向量组

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

线性相关，则对应的齐次线性方程组

x_{1} α_{1}

+

x_{2} α_{2}

+

\dots

+

x_{m} α_{m}

=

(α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{m} \end{matrix})

=

0

的解应该具有什么特征？

选项

[A]. 有实数解

[B]. 无解

[C]. 只有零解

[D]. 有非零解

答案

向量组 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{m}$ 线性相关
$\Leftrightarrow$
对应的齐次线性方程组有非零解

向量组线性相关的充要条件：向量间的线性表示（C016）

问题

若向量组

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

线性相关，则以下说法正确的是哪个？

选项

[A]. 任意一个向量都可由其余向量线性表示

[B]. 只能存在一个向量可由其余向量线性表示

[C]. 至少存在一个向量可由其余向量线性表示

[D]. 不存在任何一个可由其余向量线性表示的向量

答案

向量组 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{m}$ 线性相关
$\Leftrightarrow$
至少存在一个向量可由其余向量线性表示