向量组线性相关的常用结论归档

$n$ $+$ $1$ 个 $n$ 维向量的性质（C016）

问题

根据向量组线性相关的性质，对于 $\textcolor{orange}{n + 1}$ 个 $\textcolor{cyan}{n}$ 维向量而言，以下结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. 可能线性相关

[B]. 一定线性无关

[C]. 一定线性相关

[D]. 可能线性无关

答案

$\textcolor{orange}{n + 1}$ 个 $\textcolor{cyan}{n}$ 维向量一定线性相关

$n$ 个线性相关的 $n$ 维向量的性质（C016）

问题

已知，$n$ 个 $n$ 维向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{n}}$ 线性相关，则行列式 $\textcolor{cyan}{\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|}$ 具有什么特点？

选项

[A]. $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $>$ $1$

[B]. $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $>$ $0$

[C]. $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $\neq$ $0$

[D]. $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $=$ $0$

答案

$\textcolor{cyan}{\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|}$ $\textcolor{red}{=}$ $0$

向量组线性相关的充要条件：所形成的矩阵的秩（C016）

问题

若向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线性相关，则以下关于 $\textcolor{cyan}{\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})$ $\leqslant$ $m$

[B]. $\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})$ $=$ $m$

[C]. $\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})$ $<$ $m$

[D]. $\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})$ $\geqslant$ $m$

答案

向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线性相关
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
$\textcolor{cyan}{\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})}$ $\textcolor{red}{<}$ $\textcolor{orange}{m}$

向量组线性相关的充要条件：齐次线性方程组的解（C016）

问题

若向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线性相关，则对应的齐次线性方程组 $x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $x_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}$ $=$ $(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha_{m}})$ $\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{array}\right)$ $=$ $\mathbf{0}$ 的解应该具有什么特征？

选项

[A]. 有实数解

[B]. 无解

[C]. 只有零解

[D]. 有非零解

答案

向量组线性相关的充要条件：向量间的线性表示（C016）

问题

若向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线性相关，则以下说法正确的是哪个？

选项

[A]. 任意一个向量都可由其余向量线性表示

[B]. 只能存在一个向量可由其余向量线性表示

[C]. 至少存在一个向量可由其余向量线性表示

[D]. 不存在任何一个可由其余向量线性表示的向量

答案

向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线性相关
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
至少存在一个向量可由其余向量线性表示