题目
已知连续函数 $f(x)$ 满足：
$$
\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t + \int_{0}^{x} t f(x – t) \mathrm{d} t = ax^{2}.
$$
$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$
$(Ⅱ)$ 若 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上的平均值为 $1$, 求 $a$ 的值.
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2018年考研数二第15题解析：分部积分法、求导
2017年考研数二第23题解析：二次型、标准型、特征值与特征向量
题目
设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) =$ $2x_{1}^{2} -$ $x_{2}^{2} +$ $ax_{3}^{2} +$ $2x_{1}x_{2} -$ $8x_{1}x_{3} +$ $2x_{2}x_{3}$ 在正交变换 $x = Qy$ 下的标准型为 $\lambda_{1}y_{1}^{2} +$ $\lambda_{2} y_{2}^{2}$, 求 $a$ 的值及一个正交矩阵 $Q$.
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题目
设 $3$ 阶矩阵 $A = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$ 有 $3$ 个不同的特征值，且 $\alpha_{3} = \alpha_{1} + 2 \alpha_{2}$.
$(Ⅰ)$ 证明 $r(A) = 2$;
$(Ⅱ)$ 若 $\beta = \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}$, 求方程组 $Ax = \beta$ 的通解.
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题目
设 $y(x)$ 是区间 $(0, \frac{3}{2})$ 内的可导函数，且 $y(1) = 0$. 点 $P$ 是曲线 $l: y = y(x)$ 上的任意一点，$l$ 在点 $P$ 处的切线与 $y$ 轴相交于点 $(0, Y_{p})$, 法线与 $x$ 轴交于点 $(X_{p}, 0)$. 若 $X_{p} = Y_{p}$, 求 $l$ 上点的坐标 $(x, y)$ 满足的方程。
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题目
已知平面区域 $D =$ ${(x, y)|x^{2} + y^{2} \leqslant 2y }$, 计算二重积分 $\iint_{D} (x + 1)^{2} \mathrm{d} x \mathrm{d} y$.
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题目
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1) > 0$, $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x} < 0$. 证明：
$(Ⅰ)$ 方程 $f(x) = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少存在一个实根；
$(Ⅱ)$ 方程 $f(x) f^{”}(x) +$ $[f^{‘}(x)]^{2} = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少存在两个不同实根.
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题目
求：
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum _{k = 1}^{n} \frac{k}{n^{2}} \ln (1 + \frac{k}{n}).
$$
2017年考研数二第18题解析：导数、函数极值、单调性
题目
已知函数 $y(x)$ 由方程 $x^{3} + y^{3} – 3x + 3y – 2 = 0$ 确定，求 $y(x)$ 的极值.
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题目
设函数 $f(u,v)$ 具有二阶连续偏导数，$y =$ $f(e^{x}, \cos x)$, 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}|_{x = 0}$, $\frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}|_{x = 0}$.
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题目
求解：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{x – t} e^{t} \mathrm{d} t}{\sqrt{x^{3}}}.
$$
2016年考研数二第23题解析：相似对角化、特征值、特征向量、线性表示
题目
编号：A2016223
已知矩阵 $A = \begin{bmatrix}
0 & -1 & 1\\
2 & -3 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$.
$(Ⅰ)$ 求 $A^{99}$;
$(Ⅱ)$ 设 $3$ 阶矩阵 $B=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$ 满足 $B^{2} = BA$. 记 $B^{100} = (\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3})$, 将 $\beta_{1}$, $\beta_{2}$, $\beta_{3}$ 分别表示为 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 的线性组合.
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题目
编号：A2016222
设矩阵 $A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1-a\\
1 & 0 & a\\
a+1 & 1 & a+1
\end{bmatrix}$, $\beta = \begin{bmatrix}
0\\
1\\
2a-2
\end{bmatrix}$, 且方程组 $Ax = \beta$ 无解.
$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值；
$(Ⅱ)$ 求方程组 $A^{\top} A x = A^{\top} \beta$ 的通解.
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题目
编号：A2016221
已知函数 $f(x)$ 在 $[0, \frac{3 \pi}{2}]$ 上连续，在 $(0, \frac{3 \pi}{2})$ 内是函数 $\frac{\cos x}{2x – 3 \pi}$ 的一个原函数，且 $f(0) = 0$.
$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{3 \pi}{2}]$ 上的平均值；
$(Ⅱ)$ 证明 $f(x)$ 在区间 $(0, \frac{3 \pi}{2})$ 内存在唯一零点.
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题目
编号：A2016220
设 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ $(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 与 $\left\{\begin{matrix}
x= \cos ^{3} t;\\
y = \sin ^{3} t.
\end{matrix}\right.$ $(0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2})$ 围成的平面区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。