一、题目
已知 $b$ $>$ $a$ $>$ $0$, 请证明：
$$
\frac { \ln b – \ln a } { b – a } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
$$
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继续阅读“构造函数的另一种思路：把两个未知中的其中一个看作函数自变量”构造函数的另一种思路：把两个未知中的其中一个看作函数自变量
一、题目
标签： 高等数学练习题
有些式子虽然带着 “f”, 但有可能要看作常数处理
一、题目
已知，对于函数 $f(x)$, 其在 $x = a$ 点处的二阶导 $f ^ { \prime \prime } ( a )$ 存在，在 $x = a$ 处的一阶导 $f ^ { \prime } ( a ) \neq 0$, 则：
$$
\begin{aligned}
& I = \\ \\
& \lim _ { x \rightarrow a } \left[ \frac { 1 } { f ( x ) – f ( a ) } – \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( a ) ( x – a ) } \right] = ?
\end{aligned}
$$
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继续阅读“有些式子虽然带着 “f”, 但有可能要看作常数处理”做变限积分题的时候一定要摆脱思维定势
一、题目
已知，函数 $f ( x )$ 连续，$f ( 0 )$ $=$ $0$, $f ^ { \prime } ( 0 )$ $=$ $0$, $f ^ { \prime \prime } ( 0 )$ $\neq$ $0$, 则：
$$
I = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \int _ { 0 } ^ { x } t f ( x – t ) \mathrm { d } t } { x \int _ { 0 } ^ { x } f ( x – t ) \mathrm { d } t } =?
$$
Note
关于思维定势的分析，可以查阅荒原之梦考研数学的原创文章：《思维定势：让我们既爱又恨》
zhaokaifeng.com
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继续阅读“做变限积分题的时候一定要摆脱思维定势”看似高深的题目，用的也是最朴素的基本方法
一、题目
已知，函数 $f ( x )$ 是周期为 $2$ 的连续函数。请证明：
方程 $f ( x )$ $-$ $f ( x – 1 )$ $=$ $0$ 在任意一个长度为 $1$ 的闭区间 $[ a , a + 1 ]$ 上都至少有一个实根。
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继续阅读“看似高深的题目，用的也是最朴素的基本方法”这道题该提取 x 还是 -x 呢？
一、题目
$$
I = \lim _{ x \rightarrow – \infty } \frac { \sqrt { 4 x ^ { 2 } + x + 1 } + x + 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + \sin x } } = ?
$$
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继续阅读“这道题该提取 x 还是 -x 呢？”如果用夹逼定理没思路，可以先展开求和符号
一、题目
已知 $u _ { n } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + i } }$, 则：
$$
\lim _ { n \rightarrow \infty } u _ { n } = ?
$$
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继续阅读“如果用夹逼定理没思路，可以先展开求和符号”有些表述看上去像是定义的一个特例，其实确实定义的等价表述
一、题目
“对任意的 $\varepsilon \in ( 0 , 2 )$, 总存在正整数 $N$, 当 $n \geqslant N$ 时，恒有 $\left| x _{ n } – a \right|$ $\leqslant 3$ $\varepsilon$” 是数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 收敛于 $a$ 的什么条件？
(A)充分非必要条件
(B)必要非充分条件
(C)充分必要条件
(D)非充分非必要条件
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继续阅读“有些表述看上去像是定义的一个特例，其实确实定义的等价表述”求导不会改变函数周期，但如果自变量变了那就不一定了
一、题目
已知函数 $f ( x )$ 在区间 $( – \infty , + \infty )$ 内可导，且是以 $T$ 为周期的周期函数，则函数 $f ^ { \prime } ( a x + b )$ （其中 $a \neq 0$, 且 $a$, $b$ 为常数）的周期是多少？
(A) $T$
(B) $T – b$
(C) $T / | a |$
(D) $T / a$
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继续阅读“求导不会改变函数周期，但如果自变量变了那就不一定了”有些无穷小虽然是无穷小，但却不能用无穷小的相关公式
一、题目
$$
\begin{aligned}
& I = \\ \\
& \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { \cos 2 x – \cos x } { x ^ { 2 } } \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$
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继续阅读“有些无穷小虽然是无穷小，但却不能用无穷小的相关公式”无穷小乘以无穷小一定会产生更高阶的无穷小
一、题目
已知，当 $x \rightarrow x_0$ 时, $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为 $\left(x-x_0\right)$ 的同阶无穷小, 则下列说法正确的是哪一个？
(A) $f(x)$ $-$ $g(x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_0$ 的同阶无穷小
(B) $f(x)$ $-$ $g(x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_0$ 的高阶无穷小
(C) $f(x) \cdot g(x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_0$ 的同阶无穷小
(D) $f(x) \cdot g(x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_0$ 的高阶无穷小
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继续阅读“无穷小乘以无穷小一定会产生更高阶的无穷小”【乘除】运算可以看作是【加减】运算的“高量级进化体”
一、前言 
在考研数学中，我们常常会遇到涉及无穷小或者无穷大等无穷量的运算，在这些运算中，加减法和乘除法对无穷小量或者无穷大量的影响效果是怎样的呢？哪些运算可以改变无穷小量或者无穷大量的量级？
在本文中，荒原之梦考研数学将对这些问题做一一的解答。
继续阅读“【乘除】运算可以看作是【加减】运算的“高量级进化体””小细节大应用：根号一般都是从“二次”开始计算的
一、题目
$I =$
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x}) (1- \sqrt[3]{\cos x}) \cdots (1-\sqrt[n]{\cos x})}{(1-\cos x)^{n-1}}$ $=$ $?$
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继续阅读“小细节大应用：根号一般都是从“二次”开始计算的”无穷大转无穷小的一个常用策略：提取公因式构造分式
一、题目
$$
\begin{aligned}
I \\
& = \lim_{x \rightarrow + \infty} \left(\sqrt[6]{x^{6} + x^{5}}−\sqrt[6]{x^{6}−x^{5}}\right) \\
& = ?
\end{aligned}
$$
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继续阅读“无穷大转无穷小的一个常用策略：提取公因式构造分式”求极限的式子很复杂不知道怎么下手咋办：先看其“轮廓”
一、题目
$$
\begin{aligned}
& I \\
& = \lim_{x \rightarrow + \infty} \left( \sin \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} \right)^{x \cos \sqrt{\frac{x+1}{x^{2}}}} \\
& = ?
\end{aligned}
$$
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继续阅读“求极限的式子很复杂不知道怎么下手咋办：先看其“轮廓””用乘除法连接的等价无穷小可以采取“逐个击破”的方式计算
题目 01
$I$ $=$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})\left(3^{2 x}-1\right)}{\tan (\sin x) \ln (\cos 2 x)}$ $=$ $?$
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继续阅读“用乘除法连接的等价无穷小可以采取“逐个击破”的方式计算”