一、题目
已知，连续函数 $z$ $=$ $f(x, y)$ 满足 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}$ $=$ $0$, 则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}$ $=$ $?$
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继续阅读“用偏微分的定义计算全微分的特值问题（一）”标签： 高等数学练习题
逆向解题：由偏导数求解偏积分
一、题目
已知函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ $=$ $x$ $+$ $y$, 且有 $f(x, 0)$ $=$ $x$, $f(0, y)$ $=$ $y^{2}$, 则 $f(x, y)$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“逆向解题：由偏导数求解偏积分”在进行偏导运算赋值的时候，一定要清楚哪些变量不需要考虑
一、题目
已知函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 可微，函数 $u(x, y)$ $=$ $f(2 x+5 y)$ $+$ $g(2 x-5 y)$, 且：
$$
u(x, 0)=\sin 2 x
$$
$$
u_{y}^{\prime}(x, 0) = 0
$$
则 $f(x)$ $=$ $?$
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继续阅读“在进行偏导运算赋值的时候，一定要清楚哪些变量不需要考虑”被根号隐藏的变限积分
一、题目
已知：
$$
z = \int_{0}^{1}|x y-t| f(t) \mathrm{~d} t
$$
且：
$$
0 \leqslant x \leqslant 1
$$
$$
0 \leqslant y \leqslant 1
$$
其中 $f(x)$ 为连续函数。
则：
$$
z_{x x}^{\prime \prime} + z_{y y}^{\prime \prime} = ?
$$
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继续阅读“被根号隐藏的变限积分”求二阶偏导的小技巧：复用一阶偏导的部分结果
一、题目
已知函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数, 且满足 $4 \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}$ $-$ $\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}$ $=$ $1$, 若令 $g(x, y)$ $=$ $f\left(x^{2}+\right.$ $\left.y^{2}, x y\right)$, 则 $\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}$ $-$ $\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ $=$ $?$
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继续阅读“求二阶偏导的小技巧：复用一阶偏导的部分结果”一个多层嵌套（复合函数）求偏导的题目
一、题目
已知：$z$ $=$ $f(x, y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微, 且：
$f(1,2)$ $=$ $1$, $f_{x}^{\prime}(1,2)$ $=$ $2$, $f_{y}^{\prime}(1,2)$ $=$ $3$.
若设函数 $\varphi(x)$ $=$ $f(x, 2 f(x, 2 x))$, 则 $\varphi^{\prime}(1)$ $=$ $?$
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继续阅读“一个多层嵌套（复合函数）求偏导的题目”先偏导再积分也能确定原函数
一、题目
已知可微函数 $f(u, v)$ 满足 $\frac{\partial f(u, v)}{\partial u}$ $+$ $\frac{\partial f(u, v)}{\partial v}$ $=$ $(u+v) \mathrm{e}^{v}$, 且 $f(0, v)$ $=$ $(v-2) \mathrm{e}^{v}$. 求 $f(x, x+y)$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“先偏导再积分也能确定原函数”求偏导时，函数的第一部分变量用 1 表示，第二部分变量用 2 表示
一、题目
已知 $z$ $=$ $\mathrm{e}^{x y}$ $+$ $f(x+y, x y)$, $f(u, v)$ 有二阶连续偏导数, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“求偏导时，函数的第一部分变量用 1 表示，第二部分变量用 2 表示”求解偏导数的时候一定要清楚当前谁是自变量：文内有小技巧
一、题目
已知 $f(x, y)$ $=$ $\ln |x+y|$ $-$ $\sin (x y)$, 则 $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ 在点 $(1, \pi)$ 处的值是多少？
难度评级：
继续阅读“求解偏导数的时候一定要清楚当前谁是自变量：文内有小技巧”使用麦克劳林公式（泰勒公式）求解函数 n 阶导
一、题目
已知 $f(x)$ $=$ $x^2$ $\mathrm{e}^{3 x}$, 则 $f^{(n)}(0)$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“使用麦克劳林公式（泰勒公式）求解函数 n 阶导”摆脱惯性思维：数列不一定都是单调的，也可能有“最值点”
一、题目
数列 $1$, $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\cdots$, $\sqrt[n]{n}$, $\cdots$ 的最大值是哪一项？
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继续阅读“摆脱惯性思维：数列不一定都是单调的，也可能有“最值点””遇到三角函数问题时要知道：不同的三角函数之间可以相互转换
一、题目
$$
\int_0^1 \arcsin x \cdot \arccos x \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“遇到三角函数问题时要知道：不同的三角函数之间可以相互转换”如果一个部分无法直接被化简计算，就尝试整体代换
一、题目
已知：
$$
f(x) = x^{2} – x \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{~d} x + 2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x
$$
则：
$$
f(x) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“如果一个部分无法直接被化简计算，就尝试整体代换”常用的极限两原则：拆分之后的所有式子都要有极限且只能在乘除法之间使用等价无穷小替换
一、题目
已知：
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x-(\sin x) f(x)}{x^3} = 0
$$
则：
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6-f(x)}{x^2} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“常用的极限两原则：拆分之后的所有式子都要有极限且只能在乘除法之间使用等价无穷小替换”直接用求导公式求导太复杂时就要尝试用使用导数的定义求导：只适用于求解一点处的导数
一、题目
已知
$$
z = \left(y^x+\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+2 y^2}}\right)^{\sqrt{x^2+y^2}}
$$
则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,1)}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“直接用求导公式求导太复杂时就要尝试用使用导数的定义求导：只适用于求解一点处的导数”