标签： 高等数学练习题

一、前言

在本文中，荒原之梦网提供了两道“由一个形式的极限推导另一个形式的极限”的典型题目——

对于这类问题，我们有两种解决思路：

1. 由已知式推导未知式；
2. 由未知式反推已知式。

在本文中，我们将看到对上面这两种思路的应用。

一、题目

已知 $x_0$ $=$ $0$, 且 $x_n$ $=$ $\frac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1}}$, 其中 $n$ $=$ $1,2,3,\cdots$, 则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $x_n$ $=$ $?$

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一、题目

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2(\arctan \frac{2}{n}–\arctan \frac{2}{n+1})=?$$

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一、题目

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^a\ln (x^2+x)=?$$

其中，$a>0$.

难度评级：

一、题目

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^2(2^{\frac{1}{x}}–2^{\frac{1}{x+1}})=?$$

难度评级：

一、题目

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(e^{x^2}+x^3{)}^{\frac{1}{x^2}}=?$$

难度评级：

一、题目

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{(1–\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})}{{\sin }^2{x}^2}=?$$

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一、前言

本文将介绍一种通用的方法，可以计算出当 $x$ $\to$ $0$ 时，所有 $1$ $-$ $(\cos cx{)}^{\frac{b}{a}}$ 类型式子的等价无穷小。

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一、题目

已知 $f(x+\frac{1}{x})$ $=$ $x^2$ $+$ $\frac{1}{x^2}$, 求解 $\underset{x\to 3}{lim}$ $f(x)$.

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一、题目

微分方程 $y^{\prime \prime }$ $-$ $3y^{\prime }$ $+$ $2y$ $=$ $3x$ $-$ $2e^x$ 特解的形式是（ ）

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