一、题目
已知，函数 $f(x, y)$ 的全微分是：
$$
\left(a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x^{3} y+b x^{2} y+1\right) \mathrm{d} y
$$
则：
$$
f(x, y) = ?
$$
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继续阅读“由全微分反向积分求解原函数”标签： 高等数学练习题
用偏微分的定义计算全微分的特值问题（二）
一、题目
已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-a-b x-c y}{\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)}$ $=$ $1$, 其中 $a$, $b$, $c$ 均为常数，则 $\left.\mathrm{d} f(x, y)\right|_{(0.0)}$ $=$ $?$
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继续阅读“用偏微分的定义计算全微分的特值问题（二）”用偏微分的定义计算全微分的特值问题（一）
一、题目
已知，连续函数 $z$ $=$ $f(x, y)$ 满足 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}$ $=$ $0$, 则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}$ $=$ $?$
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继续阅读“用偏微分的定义计算全微分的特值问题（一）”逆向解题：由偏导数求解偏积分
一、题目
已知函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ $=$ $x$ $+$ $y$, 且有 $f(x, 0)$ $=$ $x$, $f(0, y)$ $=$ $y^{2}$, 则 $f(x, y)$ $=$ $?$
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继续阅读“逆向解题：由偏导数求解偏积分”在进行偏导运算赋值的时候，一定要清楚哪些变量不需要考虑
一、题目
已知函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 可微，函数 $u(x, y)$ $=$ $f(2 x+5 y)$ $+$ $g(2 x-5 y)$, 且：
$$
u(x, 0)=\sin 2 x
$$
$$
u_{y}^{\prime}(x, 0) = 0
$$
则 $f(x)$ $=$ $?$
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继续阅读“在进行偏导运算赋值的时候，一定要清楚哪些变量不需要考虑”被根号隐藏的变限积分
一、题目
已知：
$$
z = \int_{0}^{1}|x y-t| f(t) \mathrm{~d} t
$$
且：
$$
0 \leqslant x \leqslant 1
$$
$$
0 \leqslant y \leqslant 1
$$
其中 $f(x)$ 为连续函数。
则：
$$
z_{x x}^{\prime \prime} + z_{y y}^{\prime \prime} = ?
$$
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继续阅读“被根号隐藏的变限积分”求二阶偏导的小技巧：复用一阶偏导的部分结果
一、题目
已知函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数, 且满足 $4 \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}$ $-$ $\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}$ $=$ $1$, 若令 $g(x, y)$ $=$ $f\left(x^{2}+\right.$ $\left.y^{2}, x y\right)$, 则 $\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}$ $-$ $\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“求二阶偏导的小技巧：复用一阶偏导的部分结果”一个多层嵌套（复合函数）求偏导的题目
一、题目
已知：$z$ $=$ $f(x, y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微, 且：
$f(1,2)$ $=$ $1$, $f_{x}^{\prime}(1,2)$ $=$ $2$, $f_{y}^{\prime}(1,2)$ $=$ $3$.
若设函数 $\varphi(x)$ $=$ $f(x, 2 f(x, 2 x))$, 则 $\varphi^{\prime}(1)$ $=$ $?$
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继续阅读“一个多层嵌套（复合函数）求偏导的题目”先偏导再积分也能确定原函数
一、题目
已知可微函数 $f(u, v)$ 满足 $\frac{\partial f(u, v)}{\partial u}$ $+$ $\frac{\partial f(u, v)}{\partial v}$ $=$ $(u+v) \mathrm{e}^{v}$, 且 $f(0, v)$ $=$ $(v-2) \mathrm{e}^{v}$. 求 $f(x, x+y)$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“先偏导再积分也能确定原函数”求偏导时，函数的第一部分变量用 1 表示，第二部分变量用 2 表示
一、题目
已知 $z$ $=$ $\mathrm{e}^{x y}$ $+$ $f(x+y, x y)$, $f(u, v)$ 有二阶连续偏导数, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“求偏导时，函数的第一部分变量用 1 表示，第二部分变量用 2 表示”求解偏导数的时候一定要清楚当前谁是自变量：文内有小技巧
一、题目
已知 $f(x, y)$ $=$ $\ln |x+y|$ $-$ $\sin (x y)$, 则 $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ 在点 $(1, \pi)$ 处的值是多少？
难度评级：
继续阅读“求解偏导数的时候一定要清楚当前谁是自变量：文内有小技巧”使用麦克劳林公式（泰勒公式）求解函数 n 阶导
一、题目
已知 $f(x)$ $=$ $x^2$ $\mathrm{e}^{3 x}$, 则 $f^{(n)}(0)$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“使用麦克劳林公式（泰勒公式）求解函数 n 阶导”摆脱惯性思维：数列不一定都是单调的，也可能有“最值点”
一、题目
数列 $1$, $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\cdots$, $\sqrt[n]{n}$, $\cdots$ 的最大值是哪一项？
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继续阅读“摆脱惯性思维：数列不一定都是单调的，也可能有“最值点””遇到三角函数问题时要知道：不同的三角函数之间可以相互转换
一、题目
$$
\int_0^1 \arcsin x \cdot \arccos x \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“遇到三角函数问题时要知道：不同的三角函数之间可以相互转换”如果一个部分无法直接被化简计算，就尝试整体代换
一、题目
已知：
$$
f(x) = x^{2} – x \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{~d} x + 2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x
$$
则：
$$
f(x) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“如果一个部分无法直接被化简计算，就尝试整体代换”