高等数学练习题归档 - 第37页共47页 - 荒原之梦

对底数和指数都含有自变量的式子进行求导时要先用 e 抬起变形

一、题目

已知函数 $f (x) = (\sin x)^{\cos x}$ , $x \in (0, \frac{π}{2})$ , 则 $f^{'} (x)$ $=$ $?$

难度评级：

复合函数求导的一个简单例题

一、题目

已知函数 $f (x)$ 连续且可微，且 $f^{'} (0) = 1$ , $φ (x) = \ln (1 + 2 x)$ , 则 ${(\frac{d}{d x} f [φ (x)])}_{x = 0}$ $=$ $?$

难度评级：

求解一点处的导数时，不一定要用定义法

一、题目

已知：

$f (x) = {\begin{array}{cc} \frac{\arctan x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x = 0, \end{array}$

则 $f^{'} (x)$ $=$ $?$

难度评级：

求解三角函数问题时不要忘记利用其周期性

一、题目

$I = \int_{π}^{\frac{3}{2} π} \sin^{2} θ \cos^{5} θ d θ = ?$

难度评级：

对变限积分做求导运算之后，要再通过积分运算变回来的话，需要保持原本的积分上下限不变

一、题目

若函数 $f (x)$ $=$ $\int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1 + t} d t$ , $x > 0$ , 则 $f (x) + f (\frac{1}{x})$ $=$ $?$

难度评级：

时刻牢记：可导函数的驻点对应着其极值点

一、题目

已知函数 $f (x)$ $=$ $3 x^{2} + A x^{- 3}$ $(x > 0)$ , 且 $A$ 为正的常数, 则 $A$ 至少为多少时, 有 $f (x) ⩾ 20$ $(x > 0)$ .

难度评级：

判断二元函数单条件极值的一道基础题

一、题目

函数 $f (x, y)$ $=$ $1 + x + y$ 在区域 $x^{2} + y^{2} ⩽ 1$ 上的最大值与最小值之积是多少？

难度评级：

二元函数非条件极值判断的一道概念题

一、题目

判断函数 $f (x, y)$ $=$ $k x^{2} + y^{3} - 3 y$ 在点 $(0, 1)$ 处的极值情况。

难度评级：

通过二元复合函数判断一元函数的极值点条件

一、题目

已知二元函数 $F (x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $F (x_{0}, y_{0}) = 0, F_{x}^{'} (x_{0}, y_{0})$ $=$ $0$ , $F_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})$ $>$ $0$ .

若一元函数 $y = y (x)$ 是由方程 $F (x, y) = 0$ 所确定的在点 $(x_{0}, y_{0})$ 附近的隐函数，则 $x_{0}$ 是函数 $y = y (x)$ 的极小值点的一个充分条件是什么？

难度评级：

判断二元函数的极值

一、题目

已知函数 $z = f (x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处连续, 且 $lim_{(x . y) \to (0.0)} \frac{f (x, y)}{1 - \cos \sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ $=$ $- 2$ , 则函数 $f (x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处的导数和极值情况如何？

难度评级：

借助积分运算，通过全微分方程求解原函数

一、题目

已知：

$d f (x, y) = (2 y^{2} + 2 x y + 3 x^{2}) d x + (4 x y + x^{2}) d y$

则：

$f (x, y) = ?$

难度评级：

在不进行积分运算的情况下，通过偏微分方程求解原函数

一、题目

已知函数 $z$ $=$ $\sqrt{x^{2} + y^{2}} f (\frac{y}{x})$ , 且 $f (u)$ 可导, 若有：

$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2 y^{2}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

则：

$f (1) = ?$

$f^{'} (1) = ?$

难度评级：

做了这道题你会对全微分有更深入的理解

一、题目

已知函数 $f (x, y)$ 可微，且 $f [x + 1, \ln (1 + x)]$ $=$ $(1 + x)^{3} + x \ln (1 + x) (x + 1)^{\ln (x + 1)}$ , $f (x^{2}, x - 1)$ $=$ $x^{4} e^{x - 1} + (x - 1) (x^{2} - 1) x^{2 (x - 1)}$ .

则：

$d f (1, 0) = ?$

难度评级：

二重积分中经常使用转变积分区域的形式去根号

一、题目

已知积分区域 $D$ $=$ ${(x, y) ∣ \sqrt{| x |} + \sqrt{| y |} ⩽ 1}$

则：

$I = \iint_{D} (\sqrt{| x |} + \sqrt{| y |}) d x d y = ?$

难度评级：

利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性化简积分运算

一、题目

已知积分区域 $D$ $=$ ${(x, y) | | x | ⩽ 1, | y | ⩽ 1, d x^{2} + y^{2} ⩾ x}$ , 则：

$\iint_{D} | x y | d σ = ?$

难度评级：