一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将从下面这个式子出发，为同学们讲解清楚，为什么我们不能对该式子分子中的 “$\ln (1 + \tan x)$” 做局部的等价无穷小替换：
$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln(1+\tan x)}{x^2} = ?
$$
标签： 高等数学基础
扩展数列或者级数的原则：一次是特例，两次成规律
一、前言
如果我们有一个数列如下：
$$
\{ x_{n} \} = \{ 1, 2, 3, \cdots, n \}
$$
那么，我们可以很容易地知道，数列 $\{ x_{n+1} \}$ 为：
$$
\{ x_{n+1} \} = \{ 1, 2, 3, \cdots, n, n+1 \}
$$
类似地，如果我们有一个级数如下：
$$
x_{n} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n
$$
那么，我们可以很容易地知道，级数 $x_{n+1}$ 为：
$$
x_{n+1} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n + (n + 1)
$$
现在的问题是：
- 如果数列 $\{ x_{n} \}$ $=$ $\{ 1, \ \frac{1}{2}, \ \cdots, \ \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n} \}$, 则数列 $\{ x_{n+1} \} = ?$
- 如果级数 $x_{n}$ $=$ $1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n}$, 则级数 $x_{n+1} = ?$
为什么没有 $0 – 0$ 型未定式？
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」会首先给同学们介绍一下常见的未定式、以及这些常见的未定式为什么可能存在极限值，还有为什么不存在 $0 – 0$ 型的未定式.
继续阅读“为什么没有 $0 – 0$ 型未定式？”分块矩阵的常用运算汇总
由 $\arctan$ 的三角恒等式得到的一个等价无穷小公式
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过有关反三角函数 $\arctan$ 的一个恒等式，给出一个一般考研辅导资料中没有提到的等价无穷小公式.
继续阅读“由 $\arctan$ 的三角恒等式得到的一个等价无穷小公式”基于几何证明有关 $\arctan$ 的一个三角恒等式
一、前言
在《基于函数证明有关 $\arctan$ 的一个三角恒等式》一文中，荒原之梦考研数学借助函数这一工具，证明了下面的（反）三角函数恒等式：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\arctan \left(\frac{1}{t}\right) = \frac{\pi}{2} – \arctan t, \quad t > 0
}
$$
在本文中，荒原之梦考研数学将借助几何工具，从三角函数$\tan$和反三角函数$\arctan$的定义出发，继续证明上面的恒等式，并扩展到下面这个恒等式：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\arctan \left(\frac{1}{t}\right) = – \frac{\pi}{2} – \arctan t, \quad t < 0
}
$$
左极限和右极限的两种不同表示形式
一、前言
在做题的时候，我们有时候会遇到 $x \rightarrow 0^{+}$ 与 $x \rightarrow 0+0$ 这样的极限表示形式，那么，这两种不同的表示形式含义有区别吗？
在本文中，「荒原之梦考研数学」就为此给同学们做一个详细的讲解.
继续阅读“左极限和右极限的两种不同表示形式”绝对收敛与条件收敛级数及其性质的向量化图形证明
一、前言
级数的收敛包含条件收敛和绝对收敛这两种可能的形式，所以，级数具有更复杂的性质与相关结论.
在本文中，「荒原之梦考研数学」会使用向量这一工具，以图形的方式，对收敛级数进行表述上的重新定义，并据此给出解释收敛级数性质的更简洁的推理与证明.
同时，在本文中，「荒原之梦考研数学」也想阐述这样一个观点，那就是：通过适当且合理的初始定义，有可能使得对问题的研究与对结论的理解变得非常直观和简洁.
继续阅读“绝对收敛与条件收敛级数及其性质的向量化图形证明”证明：绝对收敛的级数的正项和负项构成的新级数一定都收敛
一、定理
如果级数 $\sum a_{n}$ 绝对收敛，那么，构成其的正项级数 $\sum a_{n}^{+}$ 和负项级数 $\sum a_{n}^{-}$ 都收敛.
继续阅读“证明：绝对收敛的级数的正项和负项构成的新级数一定都收敛”证明：条件收敛的级数的正项和负项构成的新级数一定都发散
一、定理
如果级数 $\sum a_{n}$ 条件收敛，那么，构成其的正项级数 $\sum a_{n}^{+}$ 和负项级数 $\sum a_{n}^{-}$ 都发散.
继续阅读“证明：条件收敛的级数的正项和负项构成的新级数一定都发散”怎么把一个级数拆分成正项和负项两部分？
一、前言
在研究级数的条件收敛和绝对收敛等问题的时候，我们常常需要对级数的正项和负项分别做考虑. 那么，怎么将一个级数的正项和负项表示出来呢？级数的正项和负项和原来的级数之间又具有什么样的关系呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们做一个详细的讲解.
继续阅读“怎么把一个级数拆分成正项和负项两部分？”收敛级数和发散级数相加所得的级数一定发散
收敛级数的加法运算性质
一、前言
如果我们有两个收敛级数（绝对收敛或者条件收敛），那么，他们相加所得的级数会具有什么性质呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过分类讨论的方式给同学们讲解清楚这一问题.
继续阅读“收敛级数的加法运算性质”向量加法满足交换律与结合律的图形证明
一、前言
我们知道，数字的加法是满足交换律与结合律的，事实上，向量的加法也满足交换律与结合律.
但是，由于向量比数字更加复杂一些，所以，我们可能难以直接感受到向量所具有的满足交换律与结合律的性质.
所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过图示的方式，以及原创的基于圆形的证明，让同学们对向量的交换律与结合律有一个直观的理解.
继续阅读“向量加法满足交换律与结合律的图形证明”平时所说的收敛是绝对收敛还是条件收敛？
一、前言
要讨论收敛是绝对收敛还是条件收敛，我们首先要明确的是：谁收敛？
在考研数学中，可能具有收敛属性的主要概念为：级数、反常积分、数列和函数.
在本文中，我们将围绕这一问题，做一个清晰的分类探讨.
继续阅读“平时所说的收敛是绝对收敛还是条件收敛？”