标签： 高等数学基础

一、前言

下面这个恒等式是考研数学中和高等数学中一个很重要的恒等式：

$$\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$$

在本文中，荒原之梦考研数学将给同学们证明上面这个式子。

继续阅读“关于 $\arctan$ 的一个恒等式及其证明”

一、前言

三角函数的二倍角公式（$\sin 2x$, $\cos 2x$, $\tan 2x$, $\cot 2x$）很常用，三角函数的三倍角公式在求解一些题目的时候，也是一个非常有用的工具。在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们整理出一份常用的三角函数三倍角公式。

继续阅读“三角函数的三倍角公式”

一、题目

求下面函数的 $n$ 阶导数：

$$\begin{array}{rl}{y}_1& =\sin x\\ y_2& =\cos x\\ y_3& =\frac{1}{x+1}\\ y_4& =\frac{-1}{x}\end{array}$$

难度评级：

继续阅读“用归纳法求函数的 $n$ 阶导数（附 $\sin$ 与 $\cos$ 的 $n$ 阶导公式）”

一、题目

继续阅读“被积函数有 4 次幂的时候，先尝试凑 2 次幂”

一、题目

已知 $f(x,y,z)$ $=$ ${\left(\frac{x}{y}\right)}^{\frac{1}{z}}$, 则：

$$\mathrm{d}f(1,1,1)=?$$

难度评级：

继续阅读“三元函数全微分的计算：比二元多一元”

题目一：两个变量的三元函数

已知函数 $u$ $=$ $f(x+y,xy,\frac{x}{y})$, 求 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$, $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$, $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}$.

其中，$f$ 具有二阶连续偏导数。

难度评级：

继续阅读“二阶偏导数求导对比：两个变量的三元函数和三个变量的二元函数”

一、题目

$$\begin{array}{rl}{I}_1=& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x+2}{x+1}\right)}^{2x+2}=?\\ \\ I_2=& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x+2}{x+1}\right)}^{2x+1}=?\end{array}$$

难度评级：

继续阅读“在无穷大条件下，幂指函数的“幂”增减一个常数不会影响最终的结果”

一、前言

求和符号是我们在考研数学中很常见到的一个符号，常见的求和符号写法如下：

$$\sum _{i=1}^{n=16}$$

或者：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n$$

那么，我们应该怎么理解上面这个求和符号呢？以及该怎么让求和符合参与到具体的计算中呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解一下这个问题。

继续阅读“求和符号中的 $i$ 和 $n$ 有啥区别？”

一、前言

在考研数学中，用定积分的定义求解某些定积分或者数列的值，是一种很常见的考题。

假如我们要用定积分的定义求解区间 $[a,b]$ 上的积分值，我们应该以什么样的方式划分 $[a,b]$ 这个区间呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲一讲上面这个问题。

继续阅读“用定积分的定义求解时怎么进行积分区间的分割？”

一、前言

我们知道，在题目的计算过程中，如果式子是分式，就有可能不利于我们进行计算。所以，为了简化计算，我们一般更倾向于简化分式中的分母，从而使该分式更接近于一般的式子，例如简化分母的次幂或者降低分母的复杂度。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给大家带来对于含有对数函数的分式的一种“去分母”解法。

继续阅读“含有对数函数的分式怎么计算”

一、前言

在高等数学（考研数学）中，我们为了判断某些题目，可能需要举一些反例，而在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们带来三种比较特殊的函数，这些函数也是我们在寻找反例的时候，很容易用上的工具。

继续阅读“考研数学中需要注意的三种特殊的函数”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们带来有关分块矩阵的秩的有关结论与多种证明方法。

继续阅读“分块矩阵的秩相关公式及实战化解释”

一、前言

已知 $x_1$, $x_2$, $\cdots$, $x_n$ 为 $n$ 个非负实数，则其几何平均值 $\sqrt[n]{x_1\times x_2\times \cdots \times x_n}$ 一定小于或等于其算术平均值 $\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$, 即：

$$\begin{array}{rl}& \sqrt[n]{x_1\times x_2\times \cdots \times x_n}⩽\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\\ \\ \Rightarrow & \sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}⩽\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\end{array}$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用数学归纳法和递推法两种方法为同学们证明上述不等式。

继续阅读“平均值不等式的详细证明过程”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过数字在乘法和减法中“牵制”能力的区别，简易地证明下式（数字的平均值相乘大于或等于每个数字相乘）：

$${\left(\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\right)}^n⩾x_1\times x_2\times \cdots \times x_n$$

为了更便于理解，同学们可以将本文中的“牵制”理解为“拖累”——小数字对大数字的“拖累”效果在乘法中比在减法中变现更突出。

继续阅读“证明：数字的平均值相乘一定不小于每个数字相乘——小数字在乘法中对大数字的“牵制”程度比减法中严重”