标签： 考研数学真题

题目

已知平面区域 $D=$ $(x,y)|x^2+y^2⩽2y$, 计算二重积分 ${\iint }_D(x+1{)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

题目

设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)>0$, $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x)}{x}<0$. 证明：

$(\mathrm{Ⅰ})$ 方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根；

$(\mathrm{Ⅱ})$ 方程 $f(x)f^{”}(x)+$ $[f^{‘}(x){]}^2=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根.

题目

求：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2}\ln (1+\frac{k}{n}).$$

题目

已知函数 $y(x)$ 由方程 $x^3+y^3–3x+3y–2=0$ 确定，求 $y(x)$ 的极值.

题目

设函数 $f(u,v)$ 具有二阶连续偏导数，$y=$ $f(e^x,\cos x)$, 求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=0}$, $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{x=0}$.

题目

求解：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{{\int }_0^x\sqrt{x–t}{e}^t\mathrm{d}t}{\sqrt{x^3}}.$$

题目

编号：A2016221

已知函数 $f(x)$ 在 $[0,\frac{3\pi }{2}]$ 上连续，在 $(0,\frac{3\pi }{2})$ 内是函数 $\frac{\cos x}{2x–3\pi }$ 的一个原函数，且 $f(0)=0$.

$(\mathrm{Ⅰ})$ 求 $f(x)$ 在区间 $[0,\frac{3\pi }{2}]$ 上的平均值；

$(\mathrm{Ⅱ})$ 证明 $f(x)$ 在区间 $(0,\frac{3\pi }{2})$ 内存在唯一零点.

题目

编号：A2016220

设 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ $(0⩽x⩽1)$ 与 $\{\begin{array}{c}x={\cos }^{3}t;\\ y={\sin }^{3}t.\end{array}$ $(0⩽t⩽\frac{\pi }{2})$ 围成的平面区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。

题目

编号：A2016219

已知 $y_1(x)=e^x$, $y_2(x)=u(x)e^x$ 是二阶微分方程：

$$(2x–1)y^{”}–(2x+1)y^{‘}+2y=0$$

的两个解. 若 $u(-1)=e$, $u(0)=-1$, 求 $u(x)$, 并写出该微分方程的通解.

题目

编号：A2016218

设 $D$ 是由直线 $y=1$, $y=x$, $y=–x$ 围成的有界区域，计算二重积分：

$${\iint }_D\frac{x^2–xy–y^2}{x^2+y^2}.$$

题目

编号：A2016217

已知函数 $z=$ $z(x,y)$ 由方程 $(x^2+$ $y^2)z+$ $\ln z+$ $2(x+y+1)=0$ 确定，求 $z=z(x,y)$ 的极值.

题目

编号：A2016216

设函数 $f(x)=$ ${\int }_0^1|t^2–x^2|dt$ $(x>0)$, 求 $f^{‘}(x)$, 并求 $f(x)$ 的最小值.

题目

编号：A2016215

求极限：

$$\underset{x\to 0}{lim}(\cos 2x+2x\sin x{)}^{\frac{1}{x^4}}.$$