考研数学二归档 - 第9页共141页

2022考研数二第01题解析：等价无穷小相减会产生更高阶的无穷小，反之也成立

一、题目

当 $x \to 0$ 时， $α (x)$ , $β (x)$ 是非零无穷小量，给出以下四个命题：

① 若 $α (x)$ $\sim$ $β (x)$ , 则 $α^{2} (x)$ $\sim$ $β^{2} (x)$ ;

② 若 $α^{2} (x)$ $\sim$ $β^{2} (x)$ , 则 $α (x)$ $\sim$ $β (x)$ ;

③ 若 $α (x) \sim β (x)$ , 则 $α (x)$ $-$ $β (x)$ $=$ $o (α (x))$ ;

④ 若 $α (x) - β (x)$ $=$ $o (α (x))$ , 则 $α (x)$ $\sim$ $β (x)$ .

其中所有真命题的序号是（）

(A) ① ③

(B) ① ④

(D) ② ③ ④

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2023年考研数二第22题解析：根据矩阵乘法凑出隐含的矩阵、矩阵的特征值和特征向量

一、题目

设矩阵 $A$ 满足：对任意 $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ 均有 $A (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ 2 x_{1} - x_{2} + x_{3} \\ x_{2} - x_{3} \end{matrix})$

(1) 求 $A$ ;

(2) 求可逆矩阵 $P$ 与对角矩阵 $Λ$ , 使得 $P^{- 1} A P$ $=$ $Λ$ .

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2024年考研数二第22题解析：线性方程组、正交变换

一、题目

设矩阵 $A$ $=$ $(\begin{matrix} 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix})$ , $B$ $=$ $(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ b & 2 \end{matrix})$ , 二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $x^{T} B A x$ . 已知方程组 $A x$ $=$ $0$ 的解均是 $B^{⊤} x$ $=$ $0$ 的解，但这两个方程组不同解.

(1) 求 $a$ , $b$ 的值;

(2) 求正交变换 $x$ $=$ $Q y$ 将 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 化为标准形.

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2024年考研数二第21题解析：证明绝对值式子小于XX，需要“两头围堵”

一、题目

设函数 $f (x)$ 具有 2 阶导数, 且 $f^{'} (0)$ $=$ $f^{'} (1)$ , $| f^{''} (x) | \leq 1$ , 证明:

(1) 当 $x \in (0, 1)$ 时, $| f (x) - f (0) (1 - x) - f (1) x |$ $\leq$ $\frac{x (1 - x)}{2}$ ;

(2) $| \int_{0}^{1} f (x) d x - \frac{f (0) + f (1)}{2} |$ $\leq$ $\frac{1}{12}$ .

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2024年考研数二第20题解析：多元复合函数求偏导、一重定积分的计算

一、题目

$f (u, v)$ 具有二阶连续偏导数, 且：

$g (x, y)$ $=$ $f (2 x + y, 3 x - y)$

$\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}$ $+$ $\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}$ $-$ $6 \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ $=$ $1$

(1) 求 $\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}$ 的值;

(2)若 $\frac{\partial f (u, 0)}{\partial u}$ $=$ $u e^{- u}$ , $f (0, v)$ $=$ $\frac{1}{50} v^{2}$ $-$ $1$ , 求 $f (u, v)$ .

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2024年考研数二第19题解析：旋转体的体积与最值

一、题目

设 $t > 0$ , 平面有界区域 $D$ 由曲线 $y = \sqrt{x} e^{- x}$ 与直线 $x = t$ , $x = 2 t$ 及 $x$ 轴围成, $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $V (t)$ , 求 $V (t)$ 的最大值.

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2024年考研数二第18题解析：微分方程的代换化简，一重积分的计算

一、题目

设 $y = y (x)$ 满足方程 $x^{2} y^{''} - x y^{'} - 9 y = 0$ , 且 ${y |}_{x = 1} = 2$ , ${y^{'} |}_{x = 1} = 6$ .

(1) 利用 $x = e^{t}$ 化简方程, 并求 $y (x)$ 的表达式;
(2) 求 $\int_{1}^{2} y (x) \sqrt{4 - x^{2}} d x$ .

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复合函数求偏导：没“偏”谁就把谁先代进去

不参与偏导运算的纯粹的自变量（不是函数）的具体数值可以在求偏导前先代入。

题目一

已知 $z = {(x + e^{y})}^{x}$ , 则：

${\frac{\partial z}{\partial x} |}_{(1, 0)} = ?$

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2024年考研数二第17题解析：二重积分的化简与计算、轮换对称性

一、题目

设平面有界区域 $D$ 位于第一象限, 由曲线 $x y = \frac{1}{3}$ , $x y = 3$ 与直线 $y = \frac{1}{3} x$ , $y = 3 x$ 围成, 计算 $\iint_{D} (1 + x - y) d x d y$ $=$ $?$

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2024年考研数二第16题解析：矩阵的化简

一、题目

设向量 $α_{1}$ $=$ $(\begin{matrix} a \\ 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})$ , $α_{2}$ $=$ $(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ b \\ a \end{array})$ , $α_{3}$ $=$ $(\begin{matrix} 1 \\ a \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})$ , 若 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $α_{3}$ 线性相关, 且其中任意两个向量均线性无关, 则 $a b = ?$