考研数学二归档 - 第6页共141页

拨开云雾，直抵核心：不要被这个积分中的三个 “ $\ln$ ” 函数迷惑了

一、题目

$I = \int \frac{1}{x \ln x \ln \ln x} d x = ?$

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一、题目

请证明下面的定积分的性质：

$\begin{aligned} \int_{a}^{b} 1 d x = & b - a \\ \int_{a}^{b} k f (x) d x = & k \int_{a}^{b} f (x) d x \end{aligned}$

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一、题目

定积分的定义是考研数学中经常考察的一个内容。但是，在真正的考试题中，我们能遇到的要使用定积分的定义求解的题目，一般是不能用一般的积分公式计算的，这样的题目不利于我们从更多的角度把握用定积分的定义解题这一方法的全貌。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」将利用定积分的定义，给同学们演示对下面这两个比较简单的定积分进行求解的过程：

$\begin{aligned} I_{1} = & \int_{0}^{1} e^{x} d x \\ I_{2} = & \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x \end{aligned}$

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一、前言

求和符号是我们在考研数学中很常见到的一个符号，常见的求和符号写法如下：

$\sum_{i = 1}^{n = 16}$

或者：

$lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n}$

那么，我们应该怎么理解上面这个求和符号呢？以及该怎么让求和符合参与到具体的计算中呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解一下这个问题。

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一、前言

在考研数学中，用定积分的定义求解某些定积分或者数列的值，是一种很常见的考题。

假如我们要用定积分的定义求解区间 $[a, b]$ 上的积分值，我们应该以什么样的方式划分 $[a, b]$ 这个区间呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲一讲上面这个问题。

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一、前言

我们知道，在题目的计算过程中，如果式子是分式，就有可能不利于我们进行计算。所以，为了简化计算，我们一般更倾向于简化分式中的分母，从而使该分式更接近于一般的式子，例如简化分母的次幂或者降低分母的复杂度。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给大家带来对于含有对数函数的分式的一种“去分母”解法。

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级数 $lim_{n \to \infty}$ $\sum_{n = 1}^{n}$ $e^{\frac{i}{n}}$ 求和怎么计算？

一、题目

$I = lim_{n \to \infty} \sum_{n = 1}^{n} e^{\frac{i}{n}} = ?$

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一、题目

已知 $f (x)$ 的一个原函数为 $\frac{\cos x}{x}$ , 则：

$I = \int x f^{'} (x) d x$

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一、前言

在高等数学（考研数学）中，我们为了判断某些题目，可能需要举一些反例，而在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们带来三种比较特殊的函数，这些函数也是我们在寻找反例的时候，很容易用上的工具。

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一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们带来有关分块矩阵的秩的有关结论与多种证明方法。

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一、前言

已知 $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\dots$ , $x_{n}$ 为 $n$ 个非负实数，则其几何平均值 $\sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \dots \times x_{n}}$ 一定小于或等于其算术平均值 $\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}$ , 即：

$\begin{aligned} \sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \dots \times x_{n}} ⩽ \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} \\ \Rightarrow & \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}} ⩽ \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} \end{aligned}$