标签： 考研数学二

一、题目

已知 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$, $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 皆存在，则以下说法中正确的是哪个？

(A) $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续

(B) $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在

(C) $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微

(D) $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)=\lim \limits_{y \rightarrow y_{0}} f\left(x_{0}, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$

难度评级：

继续阅读“X 轴和 Y 轴分量上的偏导数存在代表原函数在 X 轴和 Y 轴分量上连续”

一、题目

已知，可微函数 $f(x, y)$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial x}>1$, $\frac{\partial f}{\partial y}<-1$, $f(0,0)=0$, 则下列结论正确的是

(A) $f(1,-1)>2$.

(B) $f(-1,1)>-2$.

(C) $f(-1,-1)<0$.

(D) $f(1,1)>1$.

难度评级：

继续阅读“涉及斜率（一阶偏导数）和函数值大小于自变量的大小关系的问题可以尝试用画图的方式解决”

一、题目

若函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的某邻域内有定义，则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$, $\lim \limits_{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分必要条件吗？

难度评级：

继续阅读“X 轴和 Y 轴分量上指定点的偏导数存在且在该点处连续与该点可微之间没有任何必然联系”

一、题目

已知 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，则下列命题正确的是哪个？

(A) 若极限 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微

(B) 若极限 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微

(C) 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在

(D) 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在

难度评级：

继续阅读“真真假假，眼花缭乱：你知道哪一个条件和二元函数可微有关系吗？”

一、题目

下面的函数的一阶导函数在点 $x = 0$ 处连续吗？

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{c} & x^{2} \cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ & 0, & x=0
\end{array}\right.
$$

难度评级：

继续阅读“一点处的（偏）导数存在不能说明该（偏）导数在该点处连续：要让一点处导数存在只需要有“两个点”，但若要导数在一点处连续需要有“无数个致密的点””

一、题目

函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分条件是下面哪一个？

(A) $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$.

(B) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim \limits_{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$.

(C) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}$ 和 $\lim \limits_{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}$ 都存在.

(D) $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{x}^{\prime}(x, y)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{y}^{\prime}(x, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$.

难度评级：

继续阅读“二元偏导数中两个变量都趋于同一个坐标点时极限仍存在才叫偏导数连续”

一、题目

已知 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，且 $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-1}{x^{2}+y^{2}}=2$, 则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微吗？偏导数 $\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}$ 等于多少？

难度评级：

继续阅读“这个式子中隐藏着可微的判别公式，你能找到吗？”

一、题目

已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}, f[\varphi(x)]=1-x$ 且 $\varphi(x) \geq 0$, 求 $\varphi(x)$ 并写出它的定义域。

难度评级：

继续阅读“你能找到这个复合函数的内层函数吗？”

一、题目

已知 $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0.0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1$, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续吗？偏导数存在吗？可微吗？

难度评级：

继续阅读“两个不同符号的无穷小变量相减不会导致更高阶无穷小的产生”

一、题目

已知 $\textcolor{orange}{f(x+1)}$ 的定义域为 $[0, a], \ (a>0)$, 则 $\textcolor{yellow}{f(x)}$ 的定义域为（）

难度评级：

继续阅读“函数的定义域就是变量的取值范围：这里的变量指的是【单个】字母，此外，同一个函数 f 中，对等位置上的变量取值范围相等”

一、题目

已知：

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}x \cdot \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
$$

则函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数 $f^{\prime}_{x}(0,0)$ 存在吗？

难度评级：

继续阅读“二元函数偏导数不存在的一个简单的例题：通过一点处导数的公式判断一阶偏导数不存在”

一、题目

已知 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处偏导数存在吗？偏导数连续吗？可微吗？

难度评级：

继续阅读“二元函数偏导数的连续性可以被直接证明吗？当然可以！”