2024年考研数二第2题解析:一点处导数的定义、参数方程求导

一、题目题目 - 荒原之梦

设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^{3} \\ y=e^{t^{2}}\end{array}\right.$ 确定, 则:

$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x\left[f\left(2+\frac{2}{x}\right)-f(2)\right]=(\quad)$

(A) $2 e$

(C) $\frac{2 e}{3}$

(B) $\frac{4 e}{3}$

(D) $\frac{e}{3}$

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2023年考研数二第20题解析:极坐标系二重积分

一、题目题目 - 荒原之梦

设平面有界区域 $D$ 位于第一象限, 由曲线 $x^{2}+y^{2}-x y=1$, $\ x^{2}+y^{2}-x y=2$ 与直线 $y=\sqrt{3} x$, $\ y=0$ 围成, 计算 $\iint_{D} \frac{1}{3 x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.

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2023年考研数二第19题解析:定积分、旋转体的体积

一、题目题目 - 荒原之梦

已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leq y \leq \frac{1}{x \sqrt{1+x^{2}}}\right., \ x \geq 1\right \}$,

(1) 求 $\mathrm{D}$ 的面积.

(2) 求 $\mathrm{D}$ 绕 $\mathrm{x}$ 轴旋转所成旋转体的体积.

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2023年考研数二第17题解析:等式挖掘、一阶线性微分方程、极值

一、题目题目 - 荒原之梦

设曲线 $\mathrm{L}: \ y=y(x) \ (x>e)$ 经过点 $\left(e^{2}, 0\right), \mathrm{L}$ 上任一点 $P (x, y)$ 到 $Y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $Y$ 轴上的截距.

(1) 求 $y(x)$.

(2) 在 $\mathrm{L}$ 上求一点, 使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小, 并求此最小面积.

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2023年考研数二第07题解析:极值点与拐点和一阶导二阶导之间的关系

一、题目题目 - 荒原之梦

设函数 $f(x)=\left(x^{2}+a\right) e^{x}$, 若 $f(x)$ 没有极值点, 但曲线 $y=f(x)$ 有拐点, 则 $a$ 的取值范围是( )

(A) $[0,1)$

(C) $[1,2)$

(B) $[1,+\infty)$

(D) $[2,+\infty)$

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2023年考研数二第06题解析:换元积分、指数函数的求导法则

一、题目题目 - 荒原之梦

若函数 $f(\alpha)=\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{\alpha+1}} \mathrm{~d} x$ 在 $\alpha=\alpha_{0}$ 处取得最小值, 则 $\alpha_{0}=?$

A. $-\frac{1}{\ln (\ln 2)}$

C. $\frac{1}{\ln 2}$

B. $-\ln (\ln 2)$

D. $\ln 2$

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2023年考研数二第05题解析:参数方程求导、导数存在性定理

一、题目题目 - 荒原之梦

设函数 $y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+|t| \\ y=|t| \sin t\end{array}\right.$ 确定, 则 ( )

(A) $f(x)$ 连续, $f^{\prime}(0)$ 不存在

(B) $f^{\prime}(0)$ 不存在, $f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

(C) $f^{\prime}(x)$ 连续, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在

(D) $f^{\prime \prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

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2023年考研数二第04题解析:二阶常系数微分方程解的性质

一、题目题目 - 荒原之梦

已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界, 则 $a, b$ 的取值范围为 ( )

(A) $a<0, b>0$

(C) $a=0, b>0$

(B) $a>0, b>0$

(D) $a=0, b<0$

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