一、题目
已知 $y ^{\prime} (x)$ $=$ $\arctan (1 – x)^{2}$, $y(0)$ $=$ $1$, 则：
$$
I = \int_{0}^{1} y(x) \mathrm{~d} x = ?
$$
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继续阅读“一重积分的问题用二重积分求解”一重积分的问题用二重积分求解
一、题目
标签： 高等数学练习题
如果不能完全去掉根号，也要想办法把根号“挤”到分子上
一、题目
$$
\begin{aligned}
& I = \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } \left[ \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} + x + 1 } – \frac{ \ln \left( \mathrm{e}^{x} + x \right) }{x} \times \sqrt{x^{2} + x + 1 } \right] \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$
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继续阅读“如果不能完全去掉根号，也要想办法把根号“挤”到分子上”这道题你去几次根号可以解出来？
一、题目
$$
\begin{aligned}
I = \\ \\
& \int \frac{\ln x}{\sqrt{x ^{3} (1-x)}} \mathrm{~d} x \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$
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继续阅读“这道题你去几次根号可以解出来？”在计算的时候尽可能将除法转换为乘法：乘法比除法更方便计算
一、题目
已知，当 $x \rightarrow 0$ 时，$\frac{\cos x – 1}{1 – \sin x}$ $=$ $a x$ $+$ $b x ^{2}$ $+$ $c x ^{3}$ $+$ $o(x ^{3})$, 则：
$$
\begin{cases}
a = ? \\
b = ? \\
c = ?
\end{cases}
$$
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继续阅读“在计算的时候尽可能将除法转换为乘法：乘法比除法更方便计算”矩阵乘法的次幂是不能放到括号里面的：即便他们相乘得单位矩阵
一、题目
已知，$\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵，且：
$$
(\boldsymbol{AB}) ^{2} = \boldsymbol{E}
$$
则下列结论中，一定正确为（ ）
① $\boldsymbol{BAB}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{-1}$
② $\boldsymbol{ABA}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{-1}$
③ $(\boldsymbol{BA}) ^{2}$ $=$ $\boldsymbol{E}$
④ $\boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{B} ^{2}$ $=$ $\boldsymbol{E}$
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继续阅读“矩阵乘法的次幂是不能放到括号里面的：即便他们相乘得单位矩阵”积分式子中相似的部分越多越容易计算，但有时候需要我们拨开“云雾”
一、题目
$$
\begin{aligned}
I & = \\ \\
& \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{e ^{x+3} + e ^{5-x}} \mathrm{~d} x \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$
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继续阅读“积分式子中相似的部分越多越容易计算，但有时候需要我们拨开“云雾””这道题为啥要设 t=3x 而不是 t=2x ?
一、题目
若 $f(x)$ $+$ $\sin ^{6} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} f(3x) \mathrm{~d} x$, 则：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{~d} x = ?
$$
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继续阅读“这道题为啥要设 t=3x 而不是 t=2x ?”积分一定能改变函数的奇偶性吗？
一、题目
已知 $f ( x )$ 是连续函数， $F ( x )$ 是 $f ( x )$ 的原函数，则以下说法中正确的是哪个？
[A]. 若 $f ( x )$ 是偶函数，则 $F ( x )$ 必是奇函数
[B]. 若 $f ( x )$ 是奇函数，则 $F ( x )$ 必是偶函数
[C]. 若 $f ( x )$ 是周期函数，则$F ( x )$ 必是周期函数
[D]. 若 $f ( x )$ 是单调增函数，则 $F ( x )$ 必是单调增函数
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继续阅读“积分一定能改变函数的奇偶性吗？”有界一定不发散，但有界不一定收敛
一、题目
设数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 与 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 满足 $\lim _{ n \rightarrow \infty } \left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ $=$ $0$, 则下列说法正确的是哪个？
(A) 若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 发散，则 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 必发散
(B) 若 $\frac{1}{x _{ n }}$ 为无穷小量，则 $y _{ n }$ 必为无穷小量
(C) 若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 有界，则 $y _{ n }$ 必为无穷小量
(D) 若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 无界，则 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 必有界
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继续阅读“有界一定不发散，但有界不一定收敛”如果倒数的极限等于零，那么原式的极限就是无穷大
一、题目
$$
I = \lim _{ x \rightarrow 3 } \frac { \textcolor{pink}{ x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } }} { \textcolor{yellow}{ ( x – 3 ) ^ { 2 } }} = ?
$$
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继续阅读“如果倒数的极限等于零，那么原式的极限就是无穷大”通过化简，我们可以直接完成行列式的求解
一、题目
若行列式 $\begin{vmatrix}
x-5 & -6 & 3 \\
1 & x & -1 \\
-1 & -2 & x-1
\end{vmatrix}$ $=$ $0$, 那么，$x$ $=$ $?$
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继续阅读“通过化简，我们可以直接完成行列式的求解”殊途同归：用两种不同的分部积分方法计算同一道题
一、题目
$$
I = \int \frac{\sin ^{2} x}{\left( x \cos x – \sin x \right) ^{2}} \mathrm{~d} x
$$
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继续阅读“殊途同归：用两种不同的分部积分方法计算同一道题”对题目的总结可以通过举例的方式记忆
一、题目
已知，$A$, $B$ 为 $n$ 阶方阵，且满足 $A B$ $=$ $O$, 则下列选项正确的是哪个？
(A) $A=O$ 或 $B=O$
(B ) $|A| = 0$ 或 $|B| = 0$
(C) $A + B = O$
(D) $|A| + |B| = 0$
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继续阅读“对题目的总结可以通过举例的方式记忆”平方降幂法：增加了项数，但项数多比次幂高更好算
一、题目
$$
I = \int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 + x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 4 } } \mathrm { ~ d } x = ?
$$
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继续阅读“平方降幂法：增加了项数，但项数多比次幂高更好算”若被积函数只含 e^x 还能拯救一下，但如果还有三角函数，那只能先整体代换
一、题目
$$
I = \int \frac { \arctan \mathrm { e } ^ { x } } { \mathrm { e } ^ { 2 x } } \mathrm { ~ d } x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“若被积函数只含 e^x 还能拯救一下，但如果还有三角函数，那只能先整体代换”