标签： 高等数学练习题

一、题目

$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = ?
$$

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继续阅读“求导一定要“彻底”：以 $\arcsin \sqrt{x}$ 为例”

一、题目

$$
\cot (\arctan x) = ?
$$

难度评级：

继续阅读“计算嵌套三角函数之：$\cot$ 与 $\arctan$”

一、题目

$$
\cos(\arctan x) = ?
$$

难度评级：

继续阅读“计算嵌套三角函数之：$\cos$ 与 $\arctan$”

一、题目

$$
\int \frac{2+x}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x = ?
$$

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继续阅读“遇高幂就降幂：$\int$ $\frac{2+x}{(1+x^{2})^{2}}$ $\mathrm{d} x$”

一、题目

第 01 题：

$$
\sin(\arctan x) = ?
$$

第 02 题：

$$
\sin(2 \arctan x) = ?
$$

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继续阅读“计算嵌套三角函数之：$\sin$ 与 $\arctan$”

一、题目

$$
\int \frac{x \ln x + x \ln^{2} x}{2 + \ln x} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“找规律凑微分：$\int$ $\frac{x \ln x + x \ln^{2} x}{2 + \ln x}$ $\mathrm{d} x$”

一、题目

$$
\int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x = ?
$$

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本题在定积分上的一个应用示例：《当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时，也可以尝试使用极坐标系求解》

继续阅读“三角函数凑微分搭配分部积分：$\int$ $\frac{1}{\cos^{3} x}$ $\mathrm{d} x$”

一、题目

$$
\int \frac{\cos 2x}{\cos^{2} x (1+\sin^{2} x)} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“巧用三角函数凑微分，化不同为相同：$\int$ $\frac{\cos 2x}{\cos^{2} x (1+\sin^{2} x)}$ $\mathrm{d} x$”

一、题目

求解下面这个函数的全微分：

$$
z = e^{\frac{y}{x}}
$$

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继续阅读“求解全微分：$z$ $=$ $e^{\frac{y}{x}}$”

一、题目

$$
\int \frac{\sin 2x \sin^{2} x}{2 + \cos^{4} x} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“遇到三角函数有理式，就用三角函数凑微分：$\int$ $\frac{\sin 2x \sin^{2} x}{2 + \cos^{4} x}$ $\mathrm{d} x$”

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \sqrt{x} (\sqrt[x]{x} – 1) = ?
$$

难度评级：

继续阅读“一个很“全”的题目：$\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\sqrt{x} (\sqrt[x]{x} – 1)$”

一、题目

计算下面函数的全微分：

$$
z = xy + \frac{x}{y}
$$

难度评级：

继续阅读“计算 $z$ $=$ $xy$ $+$ $\frac{x}{y}$ 的全微分”

一、题目

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin^{2} x \cos^{2} x \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“解决三角函数定积分的组合拳：区间再现与点火公式”

一、题目

$$
\int_{0}^{\pi^{2}} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“有根号先去掉根号：$\int_{0}^{\pi^{2}}$ $\sqrt{x}$ $\cos \sqrt{x}$ $\mathrm{d} x$”

一、题目

$$
\int_{1}^{2} (x-1)^{2} (x-2)^{2} \mathrm{d} t =
$$

难度评级：

继续阅读“化繁为简：以 $\int_{1}^{2}$ $(x-1)^{2}$ $(x-2)^{2}$ $\mathrm{d} t$ 为例”