已知 $\delta>0$, 且在区间 $(-\delta, \delta)$ 内，有：
$$
\begin{cases}
& f^{\prime \prime}(x)>0; \\
& f(0)=0; \\
& f^{\prime}(0)=0
\end{cases}
$$
又有 $I=\int_{-\delta}^{\delta} f(x) \mathrm{d} x$.
则 $I$ 与 $0$ 的关系如何？
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继续阅读“通过一阶导和二阶导判断一重积分的大致取值范围”已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导, 且 $f(x)>0$.
若下面不等式成立：
$$
f(a)(b-a)<\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}
$$
则 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$ 分别需要满足什么条件？
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继续阅读“利用几何意义快速判断一重定积分的性质”已知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)<0$ 其中 $x \in(0,1)$, 则：
当 $0<x<1$ 时，$\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 与 $\int_{0}^{1} x f(t) \mathrm{d} t$ 之间的大小关系如何？
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继续阅读“被看成常数的变量在整个积分运算过程中都要按照常数处理：即便该变量的表示形式和真正的变量一致也不行”已知 $n$ 充分大时 $\left|a_{n}\right| \leq |b_{n}| \leq |c_{n}|$, 且 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} |c_{n}|$. 则以下选项，正确的是哪个？
(A) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left|a_{n}\right|-b_{n}\right)=0$
(B) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |b_{n}| – c_{n}\right)=0$
(C) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |a_{n}| – c_{n}\right)=0$
(D) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |b_{n}| – a_{n}\right)=0$
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继续阅读“带绝对值的式子一定要考虑清楚正负”$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (\sin x) \mathrm{d} x$, $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos (\cos x) \mathrm{d} x$ 和 $1$ 的大小关系如何？
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继续阅读“指定区间上的一个关键结论：sin x 小于 x，cos x 大于 x”已知：
$$
f(x)=\int_{0}^{x}\left(\mathrm{e}^{\cos t}-\mathrm{e}^{-\cos t}\right) \mathrm{d} t.
$$
则 $f(x)$ 和 $f(x+2 \pi)$ 之间是什么关系？
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继续阅读“一道没用上变限积分性质的变限积分题目：应用了积分上下限的加减运算、周期函数的定积分性质和三角函数的性质”$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}\right)=?
$$
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继续阅读“计算极限问题时“抓大头”要慎重！”已知 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 并满足 $g\left(\frac{a+b}{2}+x\right)$ $=$ $-g\left(\frac{a+b}{2}-x\right)$ $\left(\forall x \in\left[0, \frac{b-a}{2}\right]\right)$, $\int_{0}^{\frac{b – a}{2}} g\left(\frac{a+b}{2}+t\right) \mathrm{d} t$ $=$ $A$, 则 $\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ $=$ $?$
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继续阅读“由已知求未知：先把未知式子的形式往已知式子的形式上凑”已知 $f(x)$ 有连续的一阶导数，$f(0)=0$, $f(a)=1$, $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) f^{\prime}(2 a-t) \mathrm{d} t$, 则 $F(2 a)-2 F(a) = ?$
$$
(A) \quad 2
$$
$$
(B) \quad 0
$$
$$
(C) \quad 1
$$
$$
(D) \quad -1
$$
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继续阅读“变限积分也是一种特殊的定积分：能转为定积分计算的可以尝试转为定积分进行计算”已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x \cos x) \cos x \mathrm{~d} x=A$, 则 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x \cos x) x \sin x \mathrm{~d} x=?$
$$
(A) \quad 0
$$
$$
(B) \quad A
$$
$$
(C) \quad -A
$$
$$
(D) \quad 2 A
$$
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继续阅读“解题不一定要单打独斗：单式问题变双式问题”已知函数 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 连续，若令：
$$
F(x)=\int_{1}^{x}\left[g\left(t^{2}+\frac{x^{2}}{t^{2}}\right)-g\left(t+\frac{x^{2}}{t}\right)\right] \frac{\mathrm{d} t}{t}
$$
则 $F(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上为：
$$
(A) 单调升
$$
$$
(B) 单调降
$$
$$
(C) 常数
$$
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继续阅读“处理变限积分问题时除了可以尝试求导运算，还可以尝试积分运算”已知 $f(x)$ 为已知的连续函数, $t>0, s>0$ 均与积分变量 $x$ 无关, 则积分 $\int_{0}^{\frac{s}{t}} t f\left(\frac{t}{s} x\right) \mathrm{d} x$ 的值与 $t$ 和 $s$ 都有关吗？
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继续阅读“与积分变量无关的变量都视作常数处理”已知函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续，且 $a>0$, $g(x)=\int_{-a}^{a}|x-t| f(t) \mathrm{d} t$, 则在 $[-a, a]$ 上是偶函数还是奇函数？
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继续阅读“在一重积分中：只有积分变量可以被当作变量处理，其他“变量”都要视作常数”已知 $f(u)$ 为连续的偶函数，$a$ 是常数，则以下式子的奇偶性如何：
第 1 个式子：
$$
\int_{0}^{x}\left[\int_{a}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u
$$
第 2 个式子：
$$
\int_{0}^{x}\left[\int_{a}^{u} f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u
$$
第 3 个式子：
$$
\int_{a}^{x}\left[\int_{0}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u
$$
第 4 个式子：
$$
\int_{a}^{x}\left[\int_{0}^{u} f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u
$$
难度评级：
继续阅读“通过嵌套变限积分判断式子整体的奇偶性”