高等数学练习题归档 - 第35页共47页 - 荒原之梦

利用现成的结论快速解题

一、题目

已知 $a$ 与 $b$ 是两个常数, 且 $lim_{x \to + \infty}$ $e^{x} (\int_{0}^{\sqrt{x}} e^{- t^{2}} d t + a)$ $=$ $b$ , 则

${\begin{cases} a = ? \\ b = ? \end{cases}$

难度评级：

一个不能用洛必达运算也不能用泰勒公式的无穷小题目

一、题目

已知 $f (x) = 1 - \cos x$ , 则：

$I = lim_{x \to 0} \frac{(1 - \sqrt{\cos x}) (1 - \sqrt[3]{\cos x}) (1 - \sqrt[4]{\cos x}) (1 - \sqrt[5]{\cos x})}{f {f [f (x)]}} = ?$

难度评级：

变限积分被积函数中包含的变量不好处理？先整体代换试试！

一、题目

已知 $f (x)$ 可导, $f (0) = 0$ , $f^{'} (0) = 2$ , $F (x)$ $=$ $\int_{0}^{x} t^{2} f (x^{3} - t^{3}) d t$ , $g (x) = \frac{x^{7}}{5}$ $+$ $\frac{x^{6}}{6}$ , 则当 $x \to 0$ 时, $F (x)$ 是 $g (x)$ 的等价无穷小吗？

难度评级：

一般规律：大于 1 时越乘越大，小于 1 时越乘越小

一、题目

已知正数列 ${a_{n}}$ 满足 $lim_{n \to \infty} \int_{0}^{a_{n}} x^{n} d x$ $=$ $2$ , 则 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ $=$ $?$

难度评级：

当定积分遇上无穷大：先积分再计算无穷大

一、题目

已知：

$a_{n} = 3 \int_{0}^{\frac{n + 1}{n}} x^{2 n - 1} \sqrt{1 + x^{2 n}} d x$

则：

$lim_{n \to \infty} n a_{n} = ?$

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一个看上去很难的积分题：某些隐函数其实是“假”的

一、题目

曲线 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ $=$ $\sqrt{2}$ 与坐标轴所围成图形的面积是多少？

难度评级：

当变限积分和无穷限反常积分在一起会碰撞出什么火花？

一、题目

已知 $b > 0$ 为常数, $φ (x)$ $=$ $\frac{2}{\sqrt{π b}} \int_{0}^{x} e^{- \frac{t^{2}}{b}} d t$ , 并且 $\int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t$ $=$ $\frac{\sqrt{π}}{2}$ , 则 $\int_{0}^{+ \infty} [1 - φ (x)] d x = ?$

难度评级：

求解由无穷限反常积分式子确定的“隐积分”

一、题目

已知 $\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x$ 收敛, $f (x)$ $=$ $\frac{1}{1 + x^{2}}$ $-$ $\frac{e^{- x}}{1 + e^{x}} \int_{0}^{+ \infty} f (x) d x$ , 则 $\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x = ?$

难度评级：

通过一阶导和二阶导判断一重积分的大致取值范围

一、题目

已知 $δ > 0$ , 且在区间 $(- δ, δ)$ 内，有：

${\begin{cases} f^{''} (x) > 0; \\ f (0) = 0; \\ f^{'} (0) = 0 \end{cases}$

又有 $I = \int_{- δ}^{δ} f (x) d x$ .

则 $I$ 与 $0$ 的关系如何？

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利用几何意义快速判断一重定积分的性质

一、题目

已知 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导, 且 $f (x) > 0$ .

若下面不等式成立：

$f (a) (b - a) < \int_{a}^{b} f (x) d x < (b - a) \frac{f (a) + f (b)}{2}$

则 $f^{'} (x)$ 和 $f^{''} (x)$ 分别需要满足什么条件？

难度评级：

被看成常数的变量在整个积分运算过程中都要按照常数处理：即便该变量的表示形式和真正的变量一致也不行

一、题目

已知函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上连续，在区间 $(0, 1)$ 内可导，且 $f^{'} (x) < 0$ 其中 $x \in (0, 1)$ , 则：

当 $0 < x < 1$ 时， $\int_{0}^{x} f (t) d t$ 与 $\int_{0}^{1} x f (t) d t$ 之间的大小关系如何？

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带绝对值的式子一定要考虑清楚正负

一、题目

已知 $n$ 充分大时 $| a_{n} | \leq | b_{n} | \leq | c_{n} |$ , 且 $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} | c_{n} |$ . 则以下选项，正确的是哪个？

(A) $lim_{n \to \infty} (| a_{n} | - b_{n}) = 0$

(B) $lim_{n \to \infty} (| b_{n} | - c_{n}) = 0$

(C) $lim_{n \to \infty} (| a_{n} | - c_{n}) = 0$

(D) $lim_{n \to \infty} (| b_{n} | - a_{n}) = 0$

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指定区间上的一个关键结论：sin x 小于 x，cos x 大于 x

一、题目

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (\sin x) d x$ , $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (\cos x) d x$ 和 $1$ 的大小关系如何？

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一道没用上变限积分性质的变限积分题目：应用了积分上下限的加减运算、周期函数的定积分性质和三角函数的性质

一、题目

已知：

$f (x) = \int_{0}^{x} (e^{\cos t} - e^{- \cos t}) d t .$

则 $f (x)$ 和 $f (x + 2 π)$ 之间是什么关系？

难度评级：

计算极限问题时“抓大头”要慎重！

一、题目

$I = lim_{n \to \infty} \sin^{2} (π \sqrt{n^{2} + 3 n}) = ?$

难度评级：