高等数学基础 – 第 17 页 – 荒原之梦

计算微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $y^{\prime}$ $-$ $2 y$ $=$ $(6x + 2) e^{x}$ 满足指定条件的特解

一、题目

方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $y^{\prime}$ $-$ $2 y$ $=$ $(6x + 2) e^{x}$ 满足条件 $y(0)$ $=$ $3$, $y^{\prime}(0)$ $=$ $0$ 的特解 $y^{*}$ $=$ $?$

计算微分方程 $y$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $2$ $(y^{\prime})^{2}$ $=$ $0$ 满足给定初始条件的特解

一、题目

微分方程 $y$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $2$ $(y^{\prime})^{2}$ $=$ $0$ 满足初始条件 $y(0)$ $=$ $1$, $y^{\prime}(0)$ $=$ $-1$ 的特解是？

对变上限积分 $\int_{0}^{x}$ $t f(x – t)$ $\mathrm{d} t$ 进行求导运算

一、题目

对变上限积分：

$$
\textcolor{orange}{
\int_{0}^{x} t f(x – t) \mathrm{d} t}
$$

进行求导运算的结果是什么？

计算不定积分：$\int e^{\int (\frac{1}{y^{2}} – \frac{2}{y}) \mathrm{d} y}$ $\mathrm{d} y$

一、题目

$$
\textcolor{tan}{
\int e^{\int (\frac{1}{y^{2}} – \frac{2}{y}) \mathrm{d} y} \mathrm{d} y} = ?
$$

借助泰勒定理记忆等价无穷小：$e^{x}$ $-$ $1$ $\sim$ $x$

一、问题描述

当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，有一个重要的等价无穷小：

$$
\textcolor{orange}{e^{x} – 1 \sim x}
$$

但是，有时候我们可能会将该等价无穷小错记成下面这种形式：

$$
\textcolor{gray}{1 – e^{x} \sim x}
$$

用逐步简化的方法记忆泰勒公式（泰勒定理）

一、问题描述

泰勒公式在极限运算、无穷小代换等方面的解题过程中都有着重要的作用，但对泰勒公式的记忆有时候却很麻烦——在本文中，荒原之梦网为大家提供一种通过“逐步简化”的方法来记忆泰勒公式的步骤，以加强我们对于泰勒公式的掌握。

异曲同工：$1$ $+$ $\tan^{2} \alpha$ 与 $(\tan \alpha)^{\prime}$

一、前言

在数学中，通过寻找不同的公式之间的相同点或者差异点，可以让我们对公式的记忆与理解更加深入，例如：

$$
1 + \tan^{2} \alpha = \textcolor{orange}{\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}}
$$

$$
(\tan \alpha)^{\prime} = \textcolor{orange}{\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}}
$$

即：

$$
1 + \tan^{2} \alpha \textcolor{red}{=} (\tan \alpha)^{\prime}
$$

用一个小技巧牢记求导公式 $(u v)^{\prime}$ $=$ $u^{\prime} v$ $+$ $u v^{\prime}$

一、问题描述

已知函数 $u$ $=$ $u(x)$, $v$ $=$ $v(x)$, 则针对 $(u v)^{\prime}$ 的求导计算公式如下：

$$
(u v)^{\prime} = u^{\prime} v + u v^{\prime}
$$

但是，由于一些原因，有时候我们可能会无法确定 $(u v)^{\prime}$ 到底是等于 $u^{\prime} v$ $\textcolor{orange}{+}$ $u v^{\prime}$ 还是等于 $u^{\prime} v$ $\textcolor{red}{-}$ $u v^{\prime}$

变限积分被积函数中同时含有积分上下限该求导？

一、题目

$$
\Bigg[ \int_{x}^{y} f(x+y – t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\prime}_{x} = ?
$$

$$
\Bigg[ \int_{x}^{y} f(x+y – t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\prime}_{y} = ?
$$

补充资料：
[1]. 多种形式的变限积分求导方法总结.

一个复合函数求二阶偏导的例题：$u(x, y)$ $=$ $u(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$

一、题目

已知，有 $u(x, y)$ $=$ $u(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$, $r$ $=$ $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ $>$ $0$.

并且已知函数 $u(x, y)$ 有二阶连续的偏导数，要求计算：

$\frac{\partial u}{\partial x}$、$\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}$、$\frac{\partial u}{\partial y}$、$\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}}$.

$\sin [2 \arcsin y]$ 等于多少？

一、题目

$\textcolor{orange}{\sin [2 \arcsin y]}$ $=$ $?$

$\cos (\arcsin y)$ 等于多少？

一、题目

$$
\cos (\arcsin y) = ?
$$

计算不定积分 $\int$ $\cos^{2} t$ $\mathrm{d} t$

一、题目

$$
\int \cos^{2} t \mathrm{d} t = ?
$$

如何计算不定积分 $\int$ $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$

一、题目

已知 $a$ 为常数，计算如下定积分：

$$
\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} \mathrm{d} x
$$

为什么 $\sqrt{1+x}$ $-$ $\sqrt{1-x}$ $\sim$ $x$ ?

已知，当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时：

$$
(1+x)^{a} – 1 \sim ax
$$