标签： 考研数学真题

题目

已知函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $x^{2}+y^{2}y^{‘} = 1-y^{‘}$, 且 $y(2)=0$, 求 $y=y(x)$ 的极大值与极小值.

题目

求极限：

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{ \int_{1}^{x}[t^{2}(e^{\frac{1}{t}}-1)-t] dt }{x^{2} \ln (1+\frac{1}{x})}.
$$

题目

设曲线 $L$ 的方程为 $y=\frac{1}{4} x^{2} – \frac{1}{2} \ln x$ $(1 \leqslant x \leqslant e)$.

$(Ⅰ)$ 求 $L$ 的弧长；

$(Ⅱ)$ 设 $D$ 是由曲线 $L$, 直线 $x=1$, $x=e$ 及 $x$ 轴所围平面图形，求 $D$ 的形心的横坐标.

题目

设函数 $f(x)=\ln x + \frac{1}{x}$.

$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 的最小值；

$(Ⅱ)$ 设数列 ${x_{n}}$ 满足 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}<1$. 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限。

题目

求曲线 $x^{3}-xy+y^{3}=1$ $(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

一、题目

设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)=1$. 证明：

$(Ⅰ)$ 存在 $\xi \in (0,1)$, 使得 $f^{‘}(\xi)=1$;

$(Ⅱ)$ 存在 $\eta \in (-1,1)$, 使得 $f^{”}(\eta) + f^{‘}(\eta)=1$.

题目

设平面区域 $D$ 由直线 $x=3y$, $y=3x$ 与 $x+y=8$ 围成。计算 $\iint_{D} x^{2} dxdy.$

题目

设 $D$ 是由曲线 $y=x^{\frac{1}{3}}$, 直线 $x=a$ $(a>0)$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形，$V_{x}$, $V_{y}$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴，$y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 $V_{y} = 10V_{x}$, 求 $a$ 的值。

题目

当 $x \rightarrow 0$ 时，$1-\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x$ 与 $ax^{n}$ 为等价无穷小，求 $n$ 与 $a$ 的值。

题目

$(Ⅰ)$ 证明方程 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1$ $(n>1 且为整数)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个实根；

$(Ⅱ)$ 记 $(Ⅰ)$ 中的实根为 $x_{n}$, 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限。

题目

证明：

$$
x \ln \frac{1+x}{1-x} + \cos x \geqslant 1 + \frac{x^{2}}{2}.
$$

其中：

$$
-1 < x < 1.
$$