一、前言 
在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助积分的平滑性来证明“可导必连续”这一结论，有关该结论的另一种证明方式，可以查阅《关于可导必连续的一个传统方式证明》这篇文章。
继续阅读“关于可导必连续的一个基于积分平滑性的证明”标签： 考研数一
关于可导必连续的一个传统方式证明
一、前言
所谓“可导必连续”说的是，如果一个函数 $f(x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处的导数 $f ^{\prime} (x_{0})$ 存在，那么，函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处一定是连续的。
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过导数的定义证明上面的结论。
继续阅读“关于可导必连续的一个传统方式证明”为什么积分运算具有使函数变得“平滑”的能力？
一、前言
积分运算具有使被积函数变得更加平滑的能力，但是，很多参考资料并没有从本质上解释清楚为什么积分具有“平滑”的作用，只是单纯的抛出了这一个结论。
在本文中，「荒原之梦考研数学」将从本质上阐述清楚积分为什么具有平滑的能力。
继续阅读“为什么积分运算具有使函数变得“平滑”的能力？”用函数图象看明白函数极值与数列极限之间的关系
一、题目
已知，函数 $f(x)$ $=$ $\ln x + \frac{1}{x}$.
(Ⅰ) 求 $f(x)$ 的最小值;
(Ⅱ) 设数列 ${ x_{n} }$ 满足条件 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}} < 1$, 请证明 $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$ 存在, 并求该极限值.
难度评级：
继续阅读“用函数图象看明白函数极值与数列极限之间的关系”对数可以将“指数因子”变成“乘数因子”
一、题目
已知，数列 ${ x_{n} }$ 满足: $x_{1} > 0$, $x_{n}\mathrm{e}^{x_{n+1}}$ $=$ $\mathrm{e}^{x_{n}}-1$, 其中 $n$ $=$ $1, 2, 3, \cdots$.
请证明数列 ${ x_{n} }$ 收敛，并求解 $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$.
难度评级：
继续阅读“对数可以将“指数因子”变成“乘数因子””等价无穷小的本质：$x = 0$ 处斜率相等
一、前言
等价无穷小公式是考研数学中一个非常常用的工具。
但是，这些等价无穷小公式都是怎么来的呢？
如果说 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$ 就意味着 $\lim_{x \rightarrow 0} \alpha(x)$ 和 $\lim_{x \rightarrow 0} \beta(x)$ 是等价无穷小，但是，为什么式子 $\frac{\lim_{x \rightarrow 0} \alpha(x)}{\lim_{x \rightarrow 0} \beta(x)}$ 就等于 $1$ 呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助“一点处的斜率”这一概念，为同学讲清楚等价无穷小公式的来龙去脉。当然，同学们也可以借助本文中使用的方法，来推导和记忆等价无穷小公式。
继续阅读“等价无穷小的本质：$x = 0$ 处斜率相等”函数的表达式必须由函数的自变量组成
一、题目
已知 $y = \frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y ^{\prime} = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ 的唯一解，则函数 $\phi \left(\frac{x}{y}\right)$ 的显式表达式为 $\underline{\quad \quad \quad}$.
难度评级：
继续阅读“函数的表达式必须由函数的自变量组成”逆矩阵快速求解公式：满足一元二次方程形式的矩阵
一、题目
已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $a \boldsymbol{A}^{2} + b \boldsymbol{A} + c \boldsymbol{E}$ $=$ $0$, 其中 $c \neq 0$.
请证明：矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，并求解 $\boldsymbol{A}^{-1}$.
继续阅读“逆矩阵快速求解公式：满足一元二次方程形式的矩阵”为什么极限场景下的求和一般可以表示为积分？
一、前言
在做一些涉及极限的求和题目时，我们会发现，有些解法就是通过将求和转为积分的方式完成的求解。
那么，为什么极限场景下的求和一般可以表示为积分呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」通过将积分的物理意义从有向的几何量（面积、体积）或者物理意义，更改为“有向权重”的方式，探讨一种更接近积分与求和所蕴含的本质的理解方式，从而理清楚积分与求和之间的关系。
继续阅读“为什么极限场景下的求和一般可以表示为积分？”这里的“有向”是指存在“正”和“负”两种值。与传统上对积分有向面积或者有向体积的定义一样，本文中也将位于二维坐标水平轴或者三维坐标水平面上方的“有向权重”定义为“正”，下方的“有向权重”则定义为“负”——当然，“有向”并不是本文讨论的重点，也不是本文所提出的“权重”的必须性质，所以，在本文中接下来阐述“有向权重”的时候，会侧重于讨论“权重”本身。
极限的四则运算和指数运算法则
用地铁线路理解单重求和与双重求和的计算
一、前言
用求和符号 $\sum$ 表示的求和运算是一种非常基本运算形式。在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过地铁线路的方式，为同学们形象地解释单重求和与双重求和的计算思路。
继续阅读“用地铁线路理解单重求和与双重求和的计算”常用的凑微分公式汇总
一、前言
凑微分的目的就是将积分 $\int \Phi(x) \mathrm{~d} x$ 改写成 $\int f(\phi(x)) \mathrm{~d} \phi(x)$ 的形式，即：
$$
\int \textcolor{orange}{\Phi(x)} \mathrm{~d} x = \int f(\textcolor{lightgreen}{\phi(x)}) \mathrm{~d} \textcolor{lightgreen}{\phi(x)}
$$
经过上述变换，就可以将积分变量从 $x$ 拓展成更复杂的 $\phi(x)$, 从而可以在大多数时候达到简化被积函数的作用。
在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们汇总了考研数学（高等数学）解题过程中常用的凑微分公式。
继续阅读“常用的凑微分公式汇总”凑微分，分步凑
求复合函数偏导数的两种方式：先求导再代换、先代换再求导
一、题目
已知函数 $f \left( u, v \right)$ 满足 $f \left( x + y, \frac{y}{x} \right) = x^{2} – y^{2}$，则：
$$
\begin{aligned}
& \left. \frac{\partial f}{\partial u} \right|_{\substack{u=1 \\ v=1}} = ? \\ \\
& \left. \frac{\partial f}{\partial v} \right|_{\substack{u=1 \\ v=1}} = ?
\end{aligned}
$$
难度评级：
继续阅读“求复合函数偏导数的两种方式：先求导再代换、先代换再求导”极限运算中的高阶无穷小 $o(x^{n})$ 该怎么参与运算？
一、题目
$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1 – x-\frac{x}{2} \sin x}{\sin x – x \cos x}
$$