标签： 线性代数练习题

一、题目

难度评级：

继续阅读“如何确定行列式展开式中有效项的个数？”

一、题目

难度评级：

继续阅读“看准题目所给条件，可以降低发生低级错误的可能性”

一、前言

在荒原之梦考研数学的《行列式的定义式（计算公式）该怎么理解？》这篇文章中，我们理解了如下这个行列式的计算公式中每一项的具体含义：

$$
\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1⁢⁢⁢n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2⁢⁢⁢n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{m}\end{matrix}\right| =
\textcolor{yellow}{\sum _{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}} \textcolor{springgreen}{\left(−1\right)^{\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)}} \textcolor{pink}{a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{n}}
$$

这个计算公式是一个标准的计算公式，因为其中表示行列式行数的 “$a_{1}$, $a_{2}$, $\cdots$, $a_{n}$” 是顺序排列的，那么，如果组成行列式展开式中的项的元素不是顺序排列相乘的，该怎么确定这个项的正负呢？

在本文中，荒原之梦考研数学就带大家一探究竟。

继续阅读“如何确定行列式展开计算公式中每一项的正负？”

一、前言

如果已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$, 以及 $n$ 阶零矩阵 $\boldsymbol{O}$, 且下式成立：

$$
\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{O}
$$

那么，我们能判断出来有关矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的哪些性质呢？

在本文中，荒原之梦考研数学将借助类似“俄罗斯方块”游戏中的元素，为同学们解释清楚这个问题。

继续阅读“用“俄罗斯方块”理解两矩阵相乘得零矩阵所蕴含的规律”

一、题目

[A]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $>$ $0$

[B]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $=$ $0$

[C]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $<$ $0$

[D]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $\leqslant$ $0$

难度评级：

继续阅读“当行列式中非零元素的个数小于行数或列数的时候，该行列式一定等于零”

一、题目

难度评级：

继续阅读“矩阵乘法不能随便“拆”：一拆就可能“变味”了”

一、题目

难度评级：

继续阅读“转置运算可以用来引入矩阵乘法”

一、前言

行列式 $|A – B|$ 与行列式 $|B – A|$ 之间有什么关系？在本文中，荒原之梦考研数学网就将大家想清楚这个问题。

继续阅读“行列式|A-B|和|B-A|有什么关系？”

一、题目

已知 $a _{ i }$ $\neq$ $0$ ($i$ $=$ $1$, $2$, $3$, $4$), 则：

$$
|V| =
\begin{vmatrix}
& a_{1}^{3} & a_{1}^{2}b_{1} & a_{1}b_{1}^{2} & b_{1}^{3} & \\ \\
& a_{2}^{3} & a_{2}^{2}b_{2} & a_{2}b_{2}^{2} & b_{2}^{3} & \\ \\
& a_{3}^{3} & a_{3}^{2}b_{3} & a_{3}b_{3}^{2} & b_{3}^{3} & \\ \\
& a_{4}^{3} & a_{4}^{2}b_{4} & a_{4}b_{4}^{2} & b_{4}^{3} &
\end{vmatrix} ⁢= ?
$$

难度评级：

继续阅读“行列式“剥洋葱”：对于行或者列之间存在普遍规律的行列式可以尝试先提取其“公共部分””

一、题目

难度评级：

继续阅读“伴随矩阵的特征值与原矩阵的特征值之间有什么关系？”

一、题目

难度评级：

继续阅读“单位矩阵很可能“引”出来互逆矩阵”

一、题目

(A) $\boldsymbol { A }$ $=$ $\boldsymbol { O }$ 或 $\boldsymbol { B }$ $=$ $\boldsymbol { O }$

(B) $| \boldsymbol { A } |$ $=$ $0$ 或 $| \boldsymbol { B } |$ $=$ $0$

(C) $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B }$ $=$ $\boldsymbol { B } \boldsymbol { A }$

(D) $| \boldsymbol { A } |$ $+$ $| \boldsymbol { B } |$ $=$ $0$

难度评级：

继续阅读“矩阵乘法中的矩阵不满足消去律和交换律，但矩阵对应的行列式满足消去律和交换律”

一、题目

难度评级：

继续阅读“用行列式表示的方程该怎么求根？”

一、题目

(A) $a _{ 1 } a _{ 2 } a _{ 3 } a _{ 4 }$ $-$ $b _{ 1 } b _{ 2 } b _{ 3 } b _{ 4 }$

(B) $a _{ 1 } a _{ 2 } a _{ 3 } a _{ 4 }$ $+$ $b _{ 1 } b _{ 2 } b _{ 3 } b _{ 4 }$

(C) $\left( a _{ 2 } a _{ 3 } – b _{ 2 } b _{ 3 } \right)$ $\left( a _{ 1 } a _{ 4 } – b _{ 1 } b _{ 4 } \right)$

(D) $\left( a _{ 1 } a _{ 2 } – b _{ 1 } b _{ 2 } \right)$ $\left( a _{ 3 } a _{ 4 } – b _{ 3 } b _{ 4 } \right)$

难度评级：

继续阅读“高阶行列式的计算思路：降阶或者找规律”

一、题目

A. $( 1 , 1 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( 1 , – 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} }$

B. $( 1 , 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$

C. $( 1 , 1 , – 1 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( – 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$

D. $( 1 , 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( – 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$

难度评级：

解 题 思 路 简 图

graph TD
    A[原式] --> |变形| B[特征值] --> |公式| C[特征向量];
    D[秩为 1] --> E[只有一个非零特征值] --> F[0 为二重特征值] --> |实对称矩阵| G[特征值对应的特征向量正交];
    C --> G;
    G --> H[求解特征值] --> |变形| I[验证选项]

继续阅读“当特征值等于零的时候，求解特征值和特征向量的式子其实就是一个齐次线性方程组”