一、题目
若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $a x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 是正定的，则 $a$ 的取值范围是多少？
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继续阅读“正定二次型的各阶顺序主子式的值都大于零”标签： 线性代数练习题
正惯性指数就是二次型对应的矩阵 A 的正特征值的个数
一、题目
二次型 $2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 的正惯性指数 $p=?$
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继续阅读“正惯性指数就是二次型对应的矩阵 A 的正特征值的个数”你知道怎么由二次型式子写出对应的矩阵 A 吗
一、题目
已知二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ $=$ $a x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 , 则 $a=?$
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继续阅读“你知道怎么由二次型式子写出对应的矩阵 A 吗”实对称矩阵相似对角化时涉及到的正交化和单位化怎么算？
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，若正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1} A Q=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right]$, 如果 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1$, $0,-1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{\top}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=3$ 的特征向量，则 $Q=?$
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继续阅读“实对称矩阵相似对角化时涉及到的正交化和单位化怎么算？”千万不要被这道题目的表象骗了：有些条件并不是真正的已知条件
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵, $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是三维线性无关的列向量，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+$ $\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是（）
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继续阅读“千万不要被这道题目的表象骗了：有些条件并不是真正的已知条件”关于可以相似对角化的矩阵没有计算思路怎么办？特征值特征向量先算一算
一、题目
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & a \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ 和对角矩阵相似，则 $a=?$
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继续阅读“关于可以相似对角化的矩阵没有计算思路怎么办？特征值特征向量先算一算”使一个矩阵经相似对角化变成对角矩阵的矩阵 P 就是由该矩阵的特征向量组成的
一、题目
已知 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right], \boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ 可逆，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 关于特征值 $\lambda=1$ 的特征向量是多少？
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继续阅读“使一个矩阵经相似对角化变成对角矩阵的矩阵 P 就是由该矩阵的特征向量组成的”实对称矩阵（包括对角矩阵）属于不同特征值的特征向量正交
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，特征值是 $1,3,-2$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(4,-1, a)^{\mathrm{\top}}$ 分别是属于特征值 $\lambda=1$ 与 $\lambda=3$ 的特征向量，那么矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=-2$ 的 特征向量是（）
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继续阅读“实对称矩阵（包括对角矩阵）属于不同特征值的特征向量正交”实对称矩阵的性质汇总
如果深刻理解了关于特征值和特征向量的这个等式，这道题目就可以秒解
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，且矩阵 $\boldsymbol{A}$ 各行元素之和均为 $5$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 必有特征向量（）
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继续阅读“如果深刻理解了关于特征值和特征向量的这个等式，这道题目就可以秒解”行列式能化简就化简：注意把能求出实数解的部分分离出来
一、题目
矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}-3 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$ 的实特征值所对应的特征向量是（）
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继续阅读“行列式能化简就化简：注意把能求出实数解的部分分离出来”矩阵与其逆矩阵的特征向量相同，特征值互为倒数
一、题目
已知 $\boldsymbol{\alpha}=(a, 1,1)^{\mathrm{\top}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 2 \\ 2 & a & -2 \\ 2 & -2 & -1\end{array}\right]$ 的逆矩阵的特征向量，那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 在矩 阵 $\boldsymbol{A}$ 中对应的特征值是多少？
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继续阅读“矩阵与其逆矩阵的特征向量相同，特征值互为倒数”相似矩阵加上同样数量的单位矩阵之后仍然相似
一、题目
已知 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 其中 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 2 & 3\end{array}\right]$, 则 $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}|=?$
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继续阅读“相似矩阵加上同样数量的单位矩阵之后仍然相似”相似矩阵具有相同的秩
一、题目
已知 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right]$, 则 $r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})+r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=?$
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继续阅读“相似矩阵具有相同的秩”相似矩阵常用性质：主对角线和相等、对应的行列式值相等
一、题目
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & 2 & 3\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ 相似，则 $b=?$
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继续阅读“相似矩阵常用性质：主对角线和相等、对应的行列式值相等”