荒原之梦

$\ln x$ 的原函数是 $x \ln x – x + C$, 即：

$$
\int \ln x dx = x \ln x – x + C, 其中 C 为任意常数。
$$

题目

设函数 $f(x)=\ln x + \frac{1}{x}$.

$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 的最小值；

$(Ⅱ)$ 设数列 ${x_{n}}$ 满足 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}<1$. 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限。

题目

求曲线 $x^{3}-xy+y^{3}=1$ $(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

一、题目

设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)=1$. 证明：

$(Ⅰ)$ 存在 $\xi \in (0,1)$, 使得 $f^{‘}(\xi)=1$;

$(Ⅱ)$ 存在 $\eta \in (-1,1)$, 使得 $f^{”}(\eta) + f^{‘}(\eta)=1$.

题目

设平面区域 $D$ 由直线 $x=3y$, $y=3x$ 与 $x+y=8$ 围成。计算 $\iint_{D} x^{2} dxdy.$

题目

设 $D$ 是由曲线 $y=x^{\frac{1}{3}}$, 直线 $x=a$ $(a>0)$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形，$V_{x}$, $V_{y}$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴，$y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 $V_{y} = 10V_{x}$, 求 $a$ 的值。

题目

当 $x \rightarrow 0$ 时，$1-\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x$ 与 $ax^{n}$ 为等价无穷小，求 $n$ 与 $a$ 的值。

题目

$(Ⅰ)$ 证明方程 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1$ $(n>1 且为整数)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个实根；

$(Ⅱ)$ 记 $(Ⅰ)$ 中的实根为 $x_{n}$, 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限。

题目

证明：

$$
x \ln \frac{1+x}{1-x} + \cos x \geqslant 1 + \frac{x^{2}}{2}.
$$

其中：

$$
-1 < x < 1.
$$

题目

已知函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{”}(x) + f^{‘}(x) – 2f(x) =0$ 及 $f^{”}(x) + f(x) = 2e^{x}$.

$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 的表达式；

$(Ⅱ)$ 求曲线 $y=f(x^{2}) \int_{0}^{x} f(-t^{2})dt$ 的拐点。

题目

计算二重积分 $\iint_{D} xy d \sigma$, 其中，区域 $D$ 由曲线 $r=1+\cos \theta$ $(0 \leqslant \theta \leqslant \pi)$ 与极轴围成。

题目

过点 $(0,1)$ 作曲线 $L:$ $y = \ln x$ 的切线，切点为 $A$, 又 $L$ 与 $x$ 轴交于 $B$ 点，区域 $D$ 由 $L$ 与直线 $AB$ 围成，求区域 $D$ 的面积及 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。