「荒原之梦考研数学」文章 – 第 39 页

一个常用不等式的不常见证明：1/b > 2a/(a^2 + b^2)

一、题目

已知 $a$ $<$ $b$, 请证明：

$$
\frac { 1 } { b } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
$$

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每日箴言：每一列火车都有目的地，每一个人也都有人生的方向

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Алексей Задонский

每一列火车都有目的地，每一个人也都有人生的方向。所以，不必因为一时的问题迷茫，跟着生活的节奏，踏实、努力的向前走，相信自己脚下的路，未来，就会悄然而至。

2024 年 06 月 08 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：西伯利亚铁路客运列车，行驶于铁路位于斯柳江卡贝加尔湖畔路段。
作者：Алексей Задонский
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2014 年 09 月 27 日 10 时 49 分 05 秒
拍摄地点：未知
来源：wikimedia.org

一、题目

已知，对于函数 $f(x)$, 其在 $x = a$ 点处的二阶导 $f ^ { \prime \prime } ( a )$ 存在，在 $x = a$ 处的一阶导 $f ^ { \prime } ( a ) \neq 0$, 则：

$$
\begin{aligned}
& I = \\ \\
& \lim _ { x \rightarrow a } \left[ \frac { 1 } { f ( x ) – f ( a ) } – \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( a ) ( x – a ) } \right] = ?
\end{aligned}
$$

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每日箴言：珍惜每一朵含苞待放的花，因为 ta 的美有无限种可能

含苞待放的花朵有时候远比热烈盛放的鲜花更具吸引力，因为这些尚未盛开的花朵有着无数种可能的盛放姿态，无数种可能的沁香满园。

2024 年 06 月 07 日

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描述：在葡萄上被露水包覆的七星瓢虫，拍摄于德国菲尔恩海默·瓦尔德海德自然保护区。
作者：Stephan Sprinz
授权协议：本文件采用知识共享署名 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2020 年 09 月 21 日上午 07 时 25 分 24 秒
拍摄地点：东经 8° 31′ 46.95″ 北纬 49° 33′ 52.66″
来源：wikimedia.org

等价无穷大替换公式

一、前言

等价无穷小的替换公式几乎所有考研数学资料都会提到，但是却鲜有提及“等价无穷大替换公式”。在本文中，荒原之梦考研数学将对此做一个阐释。

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做变限积分题的时候一定要摆脱思维定势

一、题目

已知，函数 $f ( x )$ 连续，$f ( 0 )$ $=$ $0$, $f ^ { \prime } ( 0 )$ $=$ $0$, $f ^ { \prime \prime } ( 0 )$ $\neq$ $0$, 则：

$$
I = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \int _ { 0 } ^ { x } t f ( x – t ) \mathrm { d } t } { x \int _ { 0 } ^ { x } f ( x – t ) \mathrm { d } t } =?
$$

Note

关于思维定势的分析，可以查阅荒原之梦考研数学的原创文章：《思维定势：让我们既爱又恨》
zhaokaifeng.com

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今天 2024 高考，但我们的人生不是考试

没有一场考试可以决定人生，但是，一步步的努力，一次次的奋起，将成就我们未来的模样。

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每日箴言：种一棵树能否长成参天大树并不是现在应该考虑的问题，现在应该做的是先开始种树

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：pixabay.com-1934897

现实生活中，并没有那么多“万事具备，只欠东风”，更多的是一边摸索，一边前进，所以，想做什么，就先开始再说吧！

2024 年 06 月 06 日

看似高深的题目，用的也是最朴素的基本方法

一、题目

已知，函数 $f ( x )$ 是周期为 $2$ 的连续函数。请证明：

方程 $f ( x )$ $-$ $f ( x – 1 )$ $=$ $0$ 在任意一个长度为 $1$ 的闭区间 $[ a , a + 1 ]$ 上都至少有一个实根。

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这道题该提取 x 还是 -x 呢？

一、题目

$$
I = \lim _{ x \rightarrow – \infty } \frac { \sqrt { 4 x ^ { 2 } + x + 1 } + x + 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + \sin x } } = ?
$$

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如果用夹逼定理没思路，可以先展开求和符号

一、题目

已知 $u _ { n } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + i } }$, 则：

$$
\lim _ { n \rightarrow \infty } u _ { n } = ?
$$

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伴随矩阵的特征值与原矩阵的特征值之间有什么关系？

一、题目

已知 $\alpha$ $=$ $[ 1 , 3 , 2 ] ^ { \mathrm { \top } }$, $\beta$ $=$ $[ 1 , – 1 , 2 ] ^ { \mathrm { \top } }$, 且矩阵 $A$ 与 $\alpha \beta ^ { \mathrm { \top } }$ 相似，那么 $( 2 A + E ) ^ { * }$ 的特征值是多少？

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