一、题目
已知:
$$
y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}
$$
求 $y^{\prime}$.
难度评级:
继续阅读“已知 $y$ $=$ $\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$, 求 $y^{\prime}$”已知:
$$
y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}
$$
求 $y^{\prime}$.
难度评级:
继续阅读“已知 $y$ $=$ $\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$, 求 $y^{\prime}$”$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big( \frac{1}{n^{2} + 1^{2}} + \frac{2}{n^{2} + 2^{2}} + \cdots + \frac{n}{n^{2} + n^{2}} \Big) = ?
$$
难度评级:
继续阅读“计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\big($ $\frac{1}{n^{2} + 1^{2}}$ $+$ $\frac{2}{n^{2} + 2^{2}}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{n}{n^{2} + n^{2}}$ $\big)$”$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}} = ?
$$
其中 $a_{i}$ $>$ $0$ $($ $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $m$ $)$.
难度评级:
继续阅读“计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}}$”$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 + x^{n} + (\frac{x^{2}}{2})^{n}} = ?
$$
其中,$x$ $>$ $0$.
对变量取值范围的讨论是解答本题的重点,详情见下文……
难度评级:
继续阅读“计算极限 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{1 + x^{n} + (\frac{x^{2}}{2})^{n}}$”$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}} = ?
$$
本题可以使用夹逼准则解出,下文中会介绍使用夹逼准则时一个重要的放缩原则和思路。
难度评级:
继续阅读“计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}}$”$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} ( x + \sqrt{1 + x^{2}} )^{\frac{1}{x}} = ?
$$
难度评级:
继续阅读“计算极限 $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $($ $x$ $+$ $\sqrt{1 + x^{2}}$ $)^{\frac{1}{x}}$”在高等数学中,有些公式在本质上是有联系的,如果我们在掌握了这种联系的基础上理解这些公式,就能记忆得更加牢固。
在本文中,荒原之梦网(zhaokaifeng.com)就利用公式间的关联关系分析如何记忆 $e^{x}$ $-$ $1$ 和 $a^{x}$ $-$ $1$ 的等价无穷小。
继续阅读“将 $e^{x}$ $-$ $1$ 和 $a^{x}$ $-$ $1$ 的等价无穷小结合记忆”$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big( \frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}}{3} \Big)^{n} = ?
$$
其中,$a$ $>$ $0$, $b$ $>$ $0$, $c$ $>$ $0$.
难度评级:
继续阅读“计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\big($ $\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}}{3}$ $\big)^{n}$”$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n}} \cdot \sin \frac{1}{n} = ?
$$
难度评级:
继续阅读“计算极限 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n}}$ $\cdot$ $\sin \frac{1}{n}$”$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big[ \frac{x^{2}}{(x – a) (x + b)} \Big]^{x} = ?
$$
难度评级:
继续阅读“计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\big[$ $\frac{x^{2}}{(x – a) (x + b)}$ $\big] ^{x}$”证明下面的函数是奇函数:
$$
y = \frac{e^{x} – 1}{e^{x} + 1}
$$
难度评级:
继续阅读“如何证明 $y$ $=$ $\frac{e^{x} – 1}{e^{x} + 1}$ 是奇函数?”证明下面的函数是奇函数:
$$
y = \ln ( x + \sqrt{1+x^{2}} )
$$
难度评级:
继续阅读“如何证明 $y$ $=$ $\ln$ $($ $x$ $+$ $\sqrt{1+x^{2}}$ $)$ 是奇函数?”证明下面的函数是奇函数:
$$
y = \ln \frac{1-x}{1+x}
$$
难度评级:
继续阅读“如何证明 $y$ $=$ $\ln$ $\frac{1-x}{1+x}$ 是奇函数?”