考研数学 – 第 94 页 – 荒原之梦

函数单调增加（没说“严格单调增加”）则一阶导大于等于零而不是仅仅大于零

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义, 则下述命题中正确的是哪个？

(A) 若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$, 则 $x_{0}$ 一定不是 $f(x)$ 的极值点.
(B) 若 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值, 则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$.
(C) 若 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$, 则 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点坐标.
(D) 若 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导且单调增加, 则对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$, 都有 $f^{\prime}(x)>0$.

难度评级：

一阶导和二阶导的正负并不是判断一个点是否是极值点和拐点的根本办法

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2-\cos x, & x \leqslant 0 \\ \sqrt{x}+1, & x>0\end{array}\right.$, 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点吗？$(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点吗？

难度评级：

趋于“0 正”也算是大于零

一、题目

已知 $f(x)$ 具有二阶连续导数, 且 $f^{\prime}(1)=0, \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{(x-1)^{2}}=\frac{1}{2}$, 则以下说法中正确的是哪个？

(A) $f(1)$ 是 $f(x)$ 的极大值.
(B) $f(1)$ 是 $f(x)$ 的极小值.
(C) $f(1)$ 不是 $f(x)$ 的极值, 并且 $(1, f(1))$ 不是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标.
(D) $(1, f(1))$ 是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标.

难度评级：

这样的式子你见过吗：无论分母大于零还是小于零，分式整体都大于零

一、题目

已知 $f(x)$ 对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ 满足方程 $(x-1) f^{\prime \prime}(x)$ $+$ $2(x-1)\left[f^{\prime}(x)\right]^{3}=$ $1-\mathrm{e}^{1-x}$, 且 $f(x)$ 在 $x=a(a \neq 1)$ 处 $f^{\prime}(a)=0$, 则 $x=a$ 时 $f(x)$ 取得极值吗？如果取得极值，是极大值还是极小值？

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一阶导大于零处原函数是“凹”的

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 可导, 且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0$, 则存在 $\delta>0$, 使得：

(A) $f(x)$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 单调上升.
(B) $f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right), x \neq x_{0}$.
(C) $f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$.
(D) $f(x)<f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$.

难度评级：

复合函数的可导性是外层函数可导性的子集

一、题目

已知 $f(0)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^{2}\right)}{x^{2}}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的充要条件吗？

难度评级：

一点处的导函数值和区间上的导函数计算方式不一样，但都是导数

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, \quad x=0\end{array}\right.$, 其中 $g(x)$ 二阶连续可导, 且 $g(0)=1$, $g^{\prime}(0)=-1$, 则 $f^{\prime}(0)=?$ $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续吗？

难度评级：

低阶无穷小乘以高阶无穷大等于无穷大，高阶无穷小乘以低阶无穷大等于 0，同阶无穷小和无穷大相乘等于 1

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\mathrm{e}^{\frac{1}{x^{2}-1}}, & |x|<1 \\ x^{4}-b x^{2}+c, & |x| \geqslant 1\end{array}\right.$ 可导，则 $(b, c)=?$

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间断点只是一点处的情况，并不能决定一个函数是否是偶函数

一、前言

在本文中，我们将通过研究如下函数，来说明“间断点并不能决定一个函数是否是偶函数”这一结论。

$$
f(x) = e^{\frac{1}{x^{2} – 1}}
$$

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都连续的函数复合出的函数一定连续

一、题目

以下函数 $f[g(x)]$ 以 $x=0$ 为第二类间断点的是哪个？

(A) $f(u)=\ln \left(1+u^{2}\right), g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin ^{2} x+(x+1)^{2}, & x \leqslant 0, \\ x^{2}+1, & x>0 .\end{array}\right.$

(B) $f(u)=\left\{\begin{array}{ll}1-u, & u \leqslant 0, \\ u^{2}+1, & u>0,\end{array}, g(x)=2 \cos x-1\right.$.

(C) $f(u)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-u^{2}\right)}{u} \sin \frac{1}{u}, & u<0, \\ 1-\cos \sqrt{u}, & u \geqslant 0,\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x<0, \\ x+\frac{\pi^{2}}{4}, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.\right.$.

(D) $f(u)=\mathrm{e}^{u^{2}}+1, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}, & x<0, \\ 0, & x=0, \\ \sin \frac{1}{x}, & x>0 .\end{array}\right.$

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无界函数：只要有一个过程无界就是无界函数，无界函数一定有至少一个过程是无界的

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 连续,则 “ $\exists x_{n} \in[a,+\infty)$ 有 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ 且 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\infty$ ”是 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 无界的

(A) 既非充分又非必要条件.
(B) 必要非充分条件.
(C) 充要条件.
(D) 充分非必要条件.

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加绝对值不会产生间断点——绝对值倾向于弥合间断点

一、题目

请问，$f(x)$ 在 $x_{0}$ 点连续” 是 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 点连续的

(A) 充分条件，但不是必要条件.
(B) 必要条件，但不是充分条件.
(C) 充分必要条件.
(D) 既不是充分，也不是必要条件.

难度评级：

什么情况下间断点会被“弥合”？

一、题目

已知 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，且 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 间断，则在点 $x_{0}$ 处必定间断的函数是哪个？

(A) $f(x) \sin x$.
(B) $f(x)+\sin x$.
(C) $f^{2}(x)$.
(D) $|f(x)|$.

难度评级：

每次都乘以一个稍微大于 1 的数一定会得到无穷大吗？

一、题目

已知 $u_{n}$ $=$ $\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)$, 则下列命题正确的是哪个？

(A) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 不存在, 且 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n} \neq+\infty$.
(B) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=A>0$.
(C) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$.
(D) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$.

难度评级：

辨析由极限的不等式所能推出的结论

一、题目

下列命题中正确的是哪个？

(A) 若 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$, 当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时, $f(x) \geqslant g(x)$

(B) 若存在 $\delta>0$ 使得当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A_{0}$, $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B_{0}$ 均存在, 则 $A_{0}>B_{0}$

(C) 若存在 $\delta>0$, 当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x)>g(x) \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)$

(D) 若 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)>\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$, 当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$

难度评级：