一、题目
现在,用锤子将一铁钉打击进木板,已知木板对铁钉的阻力与铁钉击人木板的深度成正比。且在铁锤击打第一次时能把铁钉击人 $1 \mathrm{~cm}$, 如果铁锤每次击打做的功相等,则第二次能把铁钉击入多少 $\mathrm{cm}$ ?
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继续阅读“这道高等数学物理应用题不用微积分真的做不出来”现在,用锤子将一铁钉打击进木板,已知木板对铁钉的阻力与铁钉击人木板的深度成正比。且在铁锤击打第一次时能把铁钉击人 $1 \mathrm{~cm}$, 如果铁锤每次击打做的功相等,则第二次能把铁钉击入多少 $\mathrm{cm}$ ?
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继续阅读“这道高等数学物理应用题不用微积分真的做不出来”已知,线性方程组 $A x=\alpha$ 有解, $\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ 无解,则下列结论中正确的是哪个?
A. $r(B, \beta)=r(B)+1$
B. $r\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)<r\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)+1$
C. $r\left[B^{\mathrm{\top}}(B, \beta)\right]>r\left(B^{\mathrm{\top}} B\right)$
D. $r\left[\left(A^{\mathrm{\top}}, B^{\mathrm{\top}}\right)\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)\right]=r\left[\left(A^{\mathrm{\top}}, B^{\mathrm{\top}}\right)\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)\right]$
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继续阅读“做了这道题,你对分块矩阵性质的理解很可能将会更上一层楼”已知,函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导,$x_{0} \in(a, b)$ 是 $f^{\prime}(x)$ 的间断点,则该间断点一定是什么类型的间断点?
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继续阅读“连续函数的导数不一定连续:导函数的间断点只可能是震荡间断点”已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续,且 $f(x)<g(x)$, 则当 $x \neq 0$ 时,下面的说法中错误的是哪个或哪些?
[1]. $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t<\int_{0}^{x} g(t) \mathrm{~d} t$
[2]. $\int_{0}^{x^{2}} f(t) \mathrm{~d} t<\int_{0}^{x^{2}} g(t) \mathrm{~d} t$
[3]. $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x<\int_{0}^{+\infty} g(x) \mathrm{~d} x$
[4]. $\int_{0}^{x^{2}}|f(t)| \mathrm{~d} t<\int_{0}^{x^{2}}|g(t)| \mathrm{~d} t$
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继续阅读“发散的反常积分不能比较大小:不能确定是否收敛的反常积分也不能比较大小”已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连,在 $(a, b)$ 二阶可导,又 $f(a)=f(b)$, $f^{\prime \prime}(x) \neq 0 \ [x \in(a, b)]$, 则下列说法中正确的是哪个?
[1]. 在 $(a, b)$ 内 $f^{\prime}(x) \neq 0$
[2]. 存在 $\xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$, $f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=0$
[3]. 存在唯一 $\xi \in(a, b), f^{\prime}(\xi)=0$
[4]. 至少存在一点 $\xi \in(a, b), f(\xi)=0$
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继续阅读“二阶导不等于零意味着什么?”已知,函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上有二阶导数, $f(2)=0$, $F(x)=(x-1)^{2} f(x)$, 请判断 $F^{\prime \prime}(x)$ 在 $(1,2)$ 上的零点情况。
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继续阅读“判断一阶导的零点用 1 次罗尔定理,判断二阶导的零点用 2 次罗尔定理”已知 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上可导且有 $n$ 个不同的零点: $0<x_{1}<x_{2}< \cdots <x_{n}$, 则 $f(x)+f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可能有多少个零点?
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继续阅读“罗尔定理还可以用于判断函数零点的个数哦”已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,在 $(a, b)$ 二阶可导,且 $f(a)=f(b)$, $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b)$ 连续, $f_{+}^{\prime}(a)<0$, 则,是否 $\exists \ \xi \in(a, b)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)>0$ 成立?
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继续阅读“罗尔配拉格:罗尔定理是拉格朗日中值定理的前奏”方程 $x^{2}-x \sin x-\cos x=0$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 内有没有根?如果有根的话,有几个根?
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继续阅读“方程的根就是对应的函数的零点”已知常数 $0<b<\frac{1}{\mathrm{e}}$, $f(x)=\ln x-x^{b}$, 则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 区间内的零点个数是多少?
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继续阅读“再复杂的零点个数问题也有简单的思路:利用一阶导函数和关键点的函数值确定函数图像的大致走向并判断函数与 X 轴的交点个数”已知 $z=u^{2} \cos v$, $u=x y$, $v=2 x+y$, 则 $\frac{\partial z}{\partial x}=?$, $\frac{\partial z}{\partial y}=?$
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继续阅读“对复合函数做偏导运算的时候一定要在最终结果中替换掉所有中间函数的符号”已知 $f(x+y, x y)$ $=$ $x^{2}+y^{2}$, 则 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}+\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=?$
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继续阅读“改变变量所用的表示符号不会改变函数本身”$$
I=\int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{~ d} x=?
$$
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继续阅读“这道题要用凑微分和分部积分:但是别着急上来就用哦”行列式 $\left|\begin{array}{llll}a & 1 & 0 & 0 \\ b & a & 1 & 0 \\ 0 & b & a & 1 \\ 0 & 0 & b & a\end{array}\right|=?$
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继续阅读“这个行列式没有什么计算规律:对于四阶的行列式计算,直接尝试降阶即可”