分类： 线性代数

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是三阶矩阵, $r(\mathit{A})=1$, 则 $\lambda =0$

(A) 必是 $A$ 的二重特征值

(B) 至少是 $A$ 的二重特征值

(C) 至多是 $\mathit{A}$ 的二重特征值

(D) 一重、二重、三重特征值都有可能

难度评级：

继续阅读“秩为 $1$ 的矩阵的特征值可能都等于零”

一、题目

若 $\mathit{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 那么与 $\mathit{A}$ 有相同特征值的矩阵是：

(A) $\mathit{A}-\mathit{E}$

(B) $A^2$

(C) ${\mathit{A}}^{-1}$

(D) ${\mathit{A}}^{\mathrm{T}}$

难度评级：

继续阅读“矩阵和其转置矩阵具有相同的特征值”

一、题目

已知 $\mathit{A}=[{\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_4]$ 是四阶矩阵，${\mathit{\eta }}_1=(1,-2,3,1{)}^{\mathrm{\top }}$ 和 ${\mathit{\eta }}_2=(0,1,0,-2{)}^{\mathrm{\top }}$ 是 $Ax=0$ 的基础解系，则必有：

(A) ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_4$ 线性无关

(B) ${\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_4$ 线性无关

(C) ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 线性无关

(D) ${\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_4$ 线性无关

难度评级：

继续阅读“通过基础解系找到系数矩阵中线性无关的列向量”

一、题目

已知 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 是齐次方程组 $Ax=\mathbf{0}$ 的基础解系,则 $Ax=\mathbf{0}$ 的基础解系还可以是哪个？

(A) 与 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 等价的向量组

(B) ${\mathit{\alpha }}_1-{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_2-{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_3-{\mathit{\alpha }}_1$

(C) 与 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 等秩的向量组

(D) ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2+{\mathit{\alpha }}_3$

难度评级：

继续阅读“构成基础解系的各个向量必须是线性无关的”

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是 $m\times n$ 矩阵，则 $m<n$ 是齐次方程组 ${\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}\mathit{A}\mathit{x}=\mathbf{0}$ 有非零解的充要条件吗？

难度评级：

继续阅读“当系数矩阵不可逆的时候，一定有非零解”

一、题目

若 ${\mathit{\alpha }}_1=(2,1,1{)}^{\mathrm{\top }},{\mathit{\alpha }}_2=(1,-2,-1{)}^{\mathrm{\top }}$ 都是齐次线性方程组 $\mathit{A}\mathit{x}=\mathbf{0}$ 的解，则系数矩阵 $\mathit{A}$ 应为：

(A) $\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& -2& -1\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{ccc}1& 3& -5\\ -1& -3& 5\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{ccc}1& -4& 2\\ 1& 2& -1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{lll}1& -3& 1\\ 2& -6& 2\end{array}\right]$

难度评级：

继续阅读“这样的题目不要直接逐一代入，先挖掘一下题目隐含的条件”

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是 $m\times n$ 阶矩阵, ${\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}$ 是 $\mathit{A}$ 的转置, 若 ${\mathit{\eta }}_1,{\mathit{\eta }}_2,\cdots ,{\mathit{\eta }}_{\mathit{t}}$ 是齐次方程组 ${\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}\mathit{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系, 则秩 $r(\mathit{A})=?$

难度评级：

继续阅读“看清楚，这里说的不是原矩阵而是转置矩阵！”

一、题目

若 ${\mathit{\alpha }}_1=(1,1,-1{)}^{\mathrm{\top }},{\mathit{\alpha }}_2=(1,2,0{)}^{\mathrm{\top }}$ 是齐次方程组 $\mathit{A}\mathit{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系, 那么下列向量中，属于 $Ax=0$ 解向量的是哪个？

(A) $(1,-1,3{)}^{\mathrm{\top }}$

(B) $(2,1,-3{)}^{\mathrm{\top }}$

(C) $(2,2,-5{)}^{\mathrm{\top }}$

(D) $(2,-2,6{)}^{\mathrm{\top }}$

难度评级：

继续阅读“如何通过方程组的基础解系验证一个向量是否是该方程组的解向量？”

一、题目

齐次线性方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_3-x_4=0\\ x_1+x_2+x_4=0\end{array}$ 的基础解系是哪个？

(A) $(-2,2,1,0{)}^{\mathrm{\top }},(1,2,0,1{)}^{\mathrm{\top }}$

(B) $(-1,0,1,1{)}^{\mathrm{\top }},(2,0,-2,-2{)}^{\mathrm{\top }}$

(C) $(-2,2,1,0{)}^{\mathrm{\top }},(2,2,-3,-4{)}^{\mathrm{\top }}$

(D) $(1,-2,0,1{)}^{\mathrm{\top }}$

难度评级：

继续阅读“如何求解一个齐次线性方程组的基础解系？”

一、题目

已知齐次线性方程组 $\{\begin{array}{r}{x}_1+2x_2-2x_3=0\\ 2x_1-x_2+a{x}_3=0\\ 3x_1+x_2-x_3=0\end{array}$, 有无穷多解, 则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“系数矩阵不满秩的齐次线性方程组有无穷多解”

一、题目

已知 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2$ 是非齐次线性方程组 $\mathit{A}\mathit{x}=\mathit{b}$ 的两个不同的解，那么，下面仍是线性方程组 $Ax=b$ 特解的有哪些？

$${\mathit{\alpha }}_1-{\mathit{\alpha }}_2,3{\mathit{\alpha }}_1-2{\mathit{\alpha }}_2,\frac{1}{3}({\mathit{\alpha }}_1+2{\mathit{\alpha }}_2),\frac{1}{2}({\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2)$$

难度评级：

继续阅读“怎么判断经过四则运算之后的解还是不是原线性方程组的解？”

一、题目

已知，某五元齐次线性方程组经高斯消元，系数矩阵化为了 $\left[\begin{array}{ccccc}1& -2& 2& 3& -4\\ 0& 0& 1& 5& -2\\ 0& 0& 0& 2& 0\end{array}\right]$, 则选取的自由变量不能是以下哪个组合？

(A) $x_2,x_5$

(B) $x_1,x_5$

(C) $x_3,x_5$

(D) $x_2,x_3$

难度评级：

继续阅读“非自由未知数的选取并不一定是固定的”

一、题目

若四维向量组 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_4$ 线性无关, 且向量 ${\mathit{\beta }}_1={\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_3+{\mathit{\alpha }}_4$, ${\mathit{\beta }}_2={\mathit{\alpha }}_2-{\mathit{\alpha }}_4$, ${\mathit{\beta }}_3={\mathit{\alpha }}_3+{\mathit{\alpha }}_4$, ${\mathit{\beta }}_4={\mathit{\alpha }}_2+{\mathit{\alpha }}_3$, ${\mathit{\beta }}_5=2{\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2+{\mathit{\alpha }}_3$. 则 $r({\mathit{\beta }}_1,{\mathit{\beta }}_2,{\mathit{\beta }}_3,{\mathit{\beta }}_4,{\mathit{\beta }}_5)=?$

难度评级：

继续阅读“如何建立两个向量组之间的联系？”

一、题目

$a=1$ 是向量组 ${\mathit{\alpha }}_1=(1,1,a{)}^{\mathrm{\top }},{\mathit{\alpha }}_2=(1,a,1{)}^{\mathrm{\top }},{\mathit{\alpha }}_3=(a,1,1{)}^{\mathrm{\top }},{\mathit{\alpha }}_4=(-2,-2,a+$ $6{)}^{\mathrm{\top }}$ 的秩为 2 的充要条件吗？

难度评级：

继续阅读“什么样的是充分条件？什么样的是必要条件？”

一、题目

若向量组 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_s$ 的秩为 $r$, 则下列命题中正确的是哪个？

(A) 向量组中任意 $r-1$ 个向量都线性无关

(B) 向量组中任意 $r$ 个向量都线性无关

(C) 向量组中任意 $r-1$ 个向量都线性相关

(D) 向量组中任意 $r+1$ 个向量都线性相关

难度评级：

继续阅读“秩对于向量组意味着什么？”