一、题目
设 $A$ 和 $B$ 均为 $3$ 阶矩阵，且 $A$ 的特征值为 $-1$, $0$, $3$, $AB$ $+$ $A$ $=$ $B$ $+$ $2E$, 则与矩阵 $B^{-1} + E$ 相似的对角矩阵可以是 ($\quad$)
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继续阅读“矩阵与其逆矩阵对应的特征值相乘等于 1”分类： 线性代数
对抽象矩阵的运算可以转换为对该矩阵特征值的运算
一、题目
已知 $3$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{2} – A – 2E = O$, 且 $|A| = 2$. 将 $A$ 的第 $1$ 列的 $2$ 倍加到第 $3$ 列，再将第 $3$ 行的 $-2$ 倍加到第 $1$ 行得 $B$, 则 $|B + 3 E| = ?$
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继续阅读“对抽象矩阵的运算可以转换为对该矩阵特征值的运算”二次型的规范型不仅反映了二次型矩阵特征值的正负，还反映了二次型矩阵的秩
一、题目
已知二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $(x_{1} + x_{2})^{2}$ $+$ $(x_{1} – 2x_{3})^{2}$ $+$ $(x_{2} + a x_{3})^{2}$ 的规范型为 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$, 则 $a = ?$
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继续阅读“二次型的规范型不仅反映了二次型矩阵特征值的正负，还反映了二次型矩阵的秩”使正定矩阵 A 和 B 相乘所得的矩阵也是正定矩阵的充要条件是什么？
一、题目
若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正定矩阵，请证明 $AB$ 也为正定矩阵的充要条件是 $AB = BA$
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继续阅读“使正定矩阵 A 和 B 相乘所得的矩阵也是正定矩阵的充要条件是什么？”通过转化为函数的方式求解抽象行列式的值
一、题目
已知 $A$ 是 $3$ 阶矩阵，且 $|A+E| = 1$, $A+2E = 1$, $|A+3E| = 1$, 则 $A+4E = ?$
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继续阅读“通过转化为函数的方式求解抽象行列式的值”什么样的矩阵乘以其转置矩阵得正定矩阵？
一、题目
已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，非齐次线性方程组 $Ax = \beta$ 有唯一解，请证明矩阵 $A^{\top} A$ 是正定矩阵。
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继续阅读“什么样的矩阵乘以其转置矩阵得正定矩阵？”正定矩阵的伴随矩阵一定是正定矩阵吗？
关于正定矩阵及其衍生矩阵的两条重要结论
不对称的矩阵不是正定矩阵，主对角线上有负数或者零元素的矩阵也不是正定矩阵
一、题目
下列矩阵中为正定矩阵的是哪一个？
A. $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
C. $\left(\begin{array}{lll}8 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 5\end{array}\right)$
B. $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \\ 3 & 4 & -6\end{array}\right)$
D. $\left(\begin{array}{lll}5 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 6\end{array}\right)$
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继续阅读“不对称的矩阵不是正定矩阵，主对角线上有负数或者零元素的矩阵也不是正定矩阵”2023年考研数二第16题解析：非齐次线性方程组、矩阵的子式、行列式的按行按列展开
一、题目
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}a x_{1}+x_{3}=1 \\ x_{1}+a x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0 \\ a x_{1}+b x_{2}=2\end{array}\right.$ 有解, 其中 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为常数。
若 $\left|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}\right|=4$. 则, $\left|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right|=?$
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继续阅读“2023年考研数二第16题解析：非齐次线性方程组、矩阵的子式、行列式的按行按列展开”用基础线性代数知识解释明白为什么由 AB=A 不一定能推出 B=E
一、前言 
根据我目前掌握的信息，中文互联网上至少从 2012 年开始，就有人询问下面这类线性代数问题：
§ 如果 $AB=A$, 那么可以得出 $B=E$ 吗？
§ 为什么由 $AB = A$ 不可以推出 $B=E$?
虽然此后每隔几年都有人问上面这类问题，但是得到的解释要么涉及高等代数的概念，要么就仅仅是搬出来教材上给定的结论，直接说：$AB = A$ $\nRightarrow$ $B = E$——
上面这类解释其实都没能回答下面这两个核心疑问：
- 为什么由 $AB=A$ 不一定能推出 $B=E$?
- $B$ 应该是一个怎样的矩阵？
在本文中，荒原之梦网就利用最基本的线性代数知识，解释明白上面这两个疑问，大家继续往下看哦。
继续阅读“用基础线性代数知识解释明白为什么由 AB=A 不一定能推出 B=E”2023年考研数二第10题解析：线性相关、齐次线性方程组
一、题目
已知向量 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \beta_{1}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 9\end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$, 若 $\gamma$ 既可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性表示,也可由 $\beta_{1}, \beta_{2}$ 线性表示, 则 $\gamma = (\quad)$
(A) $k\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), k \in R$
(C) $k\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), k \in R$
(B) $k\left(\begin{array}{c}3 \\ 5 \\ 10\end{array}\right), k \in R$
(D) $k\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 8\end{array}\right), k \in R$
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继续阅读“2023年考研数二第10题解析：线性相关、齐次线性方程组”2023年考研数二第09题解析：二次型的规范型
一、题目
二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{1}+x_{3}\right)^{2}-4\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}$ 的规范形为 ( )
(A) $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$
(C) $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-4 y_{3}^{2}$
(B) $y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$
(D) $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$
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继续阅读“2023年考研数二第09题解析：二次型的规范型”判断抽象矩阵的可逆性：矩阵越乘零越多
带着根号求导找极值很复杂，可以先平方去根号后再求导
一、题目
曲线 $y=\ln x$ 上点的曲率具有性质：
(A) 最大值为 $\frac{2}{9} \sqrt{3}$
(B) 最小值为 $\frac{1}{8}$
(C) 最大值为 $\frac{1}{9} \sqrt{3}$
(D) 无最大值
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