一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助矩阵初等变换的“逆对称”性质，探讨一下等价矩阵与相似矩阵之间的关系.
继续阅读“等价矩阵一定包含相似矩阵，反之则不一定”分类： 线性代数
峰图 | 通过矩阵初等变换图理解逆矩阵初等变换的“逆对称”性质
什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将从可逆矩阵的性质出发，通过图示的方式为同学们讲清楚由荒原之梦原创的逆矩阵的“逆对称”概念，这一概念的引入可以帮助同学们建立对矩阵的初等变换，以及对逆矩阵、转置矩阵和正交矩阵更加形象和直观的理解.
继续阅读“峰图 | 通过矩阵初等变换图理解逆矩阵初等变换的“逆对称”性质”转置运算和逆运算的桥梁：正交矩阵
什么是矩阵乘法的“左行右列”的性质？
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过一个特别设计的矩阵 $\begin{bmatrix}
a & d & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix}$ 来给同学们讲清楚什么是矩阵乘法中的“左行右列”性质.
图解等价/相似矩阵的链式等秩公式
一、前言
根据矩阵的性质，我们知道，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 等价或者相似，那么，就会存在下面这样的秩相等的链式关系式：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix}
}
$$
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示的方式，让同学们可以通过图形的方式，更加形象的对上面的公式有一个深入的理解。
继续阅读“图解等价/相似矩阵的链式等秩公式”求解逆矩阵的三种方法
一、题目
设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$, $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A}^{2} – 3 \boldsymbol{A} + 2 \boldsymbol{E}$, 则 $\boldsymbol{B}^{-1} = \underline{\quad \quad \quad}$
继续阅读“求解逆矩阵的三种方法”快速求解二阶矩阵的伴随矩阵：主对调、副变号
一、前言
通过《求解分块矩阵的伴随矩阵》这篇文章，我们学会了如何快速求解分块矩阵的伴随矩阵，即：
$$
\begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{bmatrix}^{*} = \begin{bmatrix} |\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^{*} & – \boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{*} \\ \boldsymbol{O} & |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^{*} \end{bmatrix}
$$
又根据《一阶矩阵的伴随矩阵是多少？》这篇文章可知，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是一阶矩阵的话，则：
$$
\boldsymbol{A}^{*} = \boldsymbol{B}^{*} = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}
$$
于是，对于一个形如 $\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{bmatrix}$ 的二阶矩阵，其伴随矩阵的计算公式为：
$$
\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{bmatrix}^{*} = \begin{bmatrix}
|b| \cdot 1 & -1 \cdot 1 \\
0 & a \cdot 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
b & -1 \\
0 & a
\end{bmatrix}
$$
但是，直接使用针对分块矩阵的伴随矩阵计算公式，只能计算类似 $\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{bmatrix}$ 这样的二阶矩阵的伴随矩阵，接下来，我们就来看看如何快速计算任意一个二阶矩阵的伴随矩阵.
继续阅读“快速求解二阶矩阵的伴随矩阵：主对调、副变号”一阶矩阵的伴随矩阵是多少？
初等变换会改变行列式的值吗？
逆矩阵快速求解公式：满足一元二次方程形式的矩阵
一、题目
已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $a \boldsymbol{A}^{2} + b \boldsymbol{A} + c \boldsymbol{E}$ $=$ $0$, 其中 $c \neq 0$.
请证明：矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，并求解 $\boldsymbol{A}^{-1}$.
继续阅读“逆矩阵快速求解公式：满足一元二次方程形式的矩阵”峰式特例法：所有 $n$ 维向量都可以尝试假定为一维向量
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{E} – 2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维列向量，且 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{\alpha}$ $=$ $1$, 则：
$$
\boldsymbol{A}^{2n} = ?
$$
用“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律
一、前言 
当矩阵的乘法和转置运算结合的时候，有如下运算律：
$$
\textcolor{yellow}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$
从上面这条定理出发，我们可以验证任意多个矩阵相乘时的转置运算律。例如，若令矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{C} \boldsymbol{D}$, 则：
$$
\begin{aligned}
& \ (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\Rightarrow & \ [\boldsymbol{A} (\boldsymbol{C} \boldsymbol{D})]^{\top} = (\boldsymbol{C} \boldsymbol{D})^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\Rightarrow & \ [\boldsymbol{A} \boldsymbol{C} \boldsymbol{D}]^{\top} = \boldsymbol{D}^{\top} \boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\end{aligned}
$$
在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用原创的“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律。
继续阅读“用“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律”zhaokaifeng.com
Note
用一般具体的矩阵证明矩阵乘法的转置运算律
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用一般具体的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：
$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$
用完全抽象的矩阵证明矩阵乘法的转置运算律
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用完全抽象的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：
$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$