线性代数 – 第 2 页

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们介绍一类特别的矩阵：正交矩阵.

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过一个特别设计的矩阵 $\begin{bmatrix}
a & d & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix}$ 来给同学们讲清楚什么是矩阵乘法中的“左行右列”性质.

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一、前言

根据矩阵的性质，我们知道，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 等价或者相似，那么，就会存在下面这样的秩相等的链式关系式：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix}
}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示的方式，让同学们可以通过图形的方式，更加形象的对上面的公式有一个深入的理解。

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求解逆矩阵的三种方法

一、题目

设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$, $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A}^{2} – 3 \boldsymbol{A} + 2 \boldsymbol{E}$, 则 $\boldsymbol{B}^{-1} = \underline{\quad \quad \quad}$

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快速求解二阶矩阵的伴随矩阵：主对调、副变号

一、前言

通过《求解分块矩阵的伴随矩阵》这篇文章，我们学会了如何快速求解分块矩阵的伴随矩阵，即：

$$
\begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{bmatrix}^{*} = \begin{bmatrix} |\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^{*} & – \boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{*} \\ \boldsymbol{O} & |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^{*} \end{bmatrix}
$$

又根据《一阶矩阵的伴随矩阵是多少？》这篇文章可知，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是一阶矩阵的话，则：

$$
\boldsymbol{A}^{*} = \boldsymbol{B}^{*} = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}
$$

于是，对于一个形如 $\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{bmatrix}$ 的二阶矩阵，其伴随矩阵的计算公式为：

$$
\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{bmatrix}^{*} = \begin{bmatrix}
|b| \cdot 1 & -1 \cdot 1 \\
0 & a \cdot 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
b & -1 \\
0 & a
\end{bmatrix}
$$

但是，直接使用针对分块矩阵的伴随矩阵计算公式，只能计算类似 $\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{bmatrix}$ 这样的二阶矩阵的伴随矩阵，接下来，我们就来看看如何快速计算任意一个二阶矩阵的伴随矩阵.

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一阶矩阵的伴随矩阵是多少？

一、前言

矩阵一般都是多阶的，但是，一阶矩阵仍然是存在的. 在本文中，我们就来探讨一下一阶矩阵的伴随矩阵是什么样子的.

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初等变换会改变行列式的值吗？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将详细分析初等变换对行列式的值的影响.

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逆矩阵快速求解公式：满足一元二次方程形式的矩阵

一、题目

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $a \boldsymbol{A}^{2} + b \boldsymbol{A} + c \boldsymbol{E}$ $=$ $0$, 其中 $c \neq 0$.

请证明：矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，并求解 $\boldsymbol{A}^{-1}$.

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峰式特例法：所有 $n$ 维向量都可以尝试假定为一维向量

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{E} – 2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维列向量，且 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{\alpha}$ $=$ $1$, 则：

$$
\boldsymbol{A}^{2n} = ?
$$

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用“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律

一、前言

当矩阵的乘法和转置运算结合的时候，有如下运算律：

$$
\textcolor{yellow}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

从上面这条定理出发，我们可以验证任意多个矩阵相乘时的转置运算律。例如，若令矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{C} \boldsymbol{D}$, 则：

$$
\begin{aligned}
& \ (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\Rightarrow & \ [\boldsymbol{A} (\boldsymbol{C} \boldsymbol{D})]^{\top} = (\boldsymbol{C} \boldsymbol{D})^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\Rightarrow & \ [\boldsymbol{A} \boldsymbol{C} \boldsymbol{D}]^{\top} = \boldsymbol{D}^{\top} \boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\end{aligned}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用原创的“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律。

Note

作为对比，可以发现，用传统数学方法完成的证明过程会显得较为繁琐：链接 1、链接 2.
zhaokaifeng.com

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用一般具体的矩阵证明矩阵乘法的转置运算律

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用一般具体的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：

$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

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用完全抽象的矩阵证明矩阵乘法的转置运算律

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用完全抽象的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：

$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

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转置运算中的矩阵必须是方阵吗？

一、前言

在矩阵的转置运算中，参与运算的矩阵必须是 $n \times n$ 阶的方阵吗？

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对抽象矩阵/行列式的计算，要尽可能“拖延”代入具体数值的时间

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ 是三阶方阵，且满足等式 $\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{B}$ $-$ $\boldsymbol{A}$ $-$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{E}$, 若 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, 则：

$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{B}
\end{vmatrix} = ?
$$

难度评级：

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