线性代数归档 - 第2页共41页

一、题目

是 $n$ 阶方阵，且满足：

$A^{2} = A$

请证明：

$r (A) + r (A - E) = n$

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关于由 $A B$ $=$ $O$ 可得 $r (A)$ $+$ $r (B)$ $⩽$ $n$ 的一个简单证明方式

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们证明下面这个公式：

$\begin{aligned} A B = O \\ \Leftrightarrow & r (A) + r (B) ⩽ n \end{aligned}$

其中，矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 都是 $n \times n$ 阶方阵。

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关于 $r (A)$ $+$ $r (E$ $-$ $A)$ $⩾$ $r (E)$ 的一个简单证明

一、前言

在考研数学的线性代数科目中，我们有时候会遇到要使用下面这个公式的题目：

$r (A) + r (E - A) ⩾ r (E)$

事实上，往年的考研数学真题中也曾出现过要用该性质的题目。但是，同学们在使用这个性质的时候，可能会对上面这个不等式为什么成立产生疑问，在文本中，「荒原之梦考研数学」就给出一种简单的证明方式，帮助同学们解除疑惑。

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非齐次线性方程组不同解向量的系数相加等于 1 时，相加所得的向量也是该方程的解

一、题目

已知 $η_{1}$ , $η_{2}$ , $η_{3}$ 均是 $A x$ $=$ $b$ 的解，若 $k_{1} η_{1}$ $+$ $k_{2} η_{2}$ $+$ $k_{3} η_{3}$ 也是 $A x$ $=$ $b$ 的解，则 $k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$ 应满足：

[A]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $1$

[B]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $3$

[C]. $k_{1}$ $\times$ $k_{2}$ $\times$ $k_{3}$ $=$ $1$

[D]. $k_{1}$ $=$ $1$ 且 $k_{2}$ $=$ $1$ 且 $k_{3}$ $=$ $1$

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一、题目

已知 $A$ 是 $n$ 阶方阵， $r (A)$ $=$ $n - 1$ , $α_{1}$ , $α_{2}$ 是齐次线性方程组 $A x$ $=$ $0$ 的两个不同的解， $k$ 是任意常数，则以下哪个选项一定是 $A x$ $=$ $0$ 的通解？

[A]. $k α_{1}$

[B]. $k α_{2}$

[C]. $k (α_{1}$ $+$ $α_{2})$

[D]. $k (α_{1}$ $-$ $α_{2})$

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一、题目

已知：

$A = [\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}]$

$B = [\begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}]$

求可逆矩阵 $C$ , 使得下式成立：

$C^{⊤} A C = B$

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对称矩阵/单位矩阵经“对称初等变换”可以生成互为转置矩阵的两个矩阵

一、前言

关于主对角线对称的矩阵，特别是单位矩阵具有很多的神奇的性质，在「荒原之梦考研数学」的《单位矩阵可以用来记录初等变换》一文中，我们学习了单位矩阵在“存储”和“写入”矩阵初等行变换和初等列变换上的能力。

在本文中，我们将学习单位矩阵和一般的对称矩阵在“对称初等变换”条件下自动生成其转置矩阵的特殊性质。

对称初等变换示意图

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一、前言

线性代数中的“单位矩阵（ $E$ ）”是一个非常特别的矩阵，这个矩阵非常简单，以至于可以用来记录初等变换的过程。

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解一下单位矩阵的这一作用。

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一、前言

在线性代数中，我们会遇到关于单位矩阵 $E$ 的如下写法：

$\begin{array}{r} E_{12} E_{23} E_{31} \dots \end{array}$

那么，上面这种写法表示什么意思呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解一下。

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一、前言

如果两个二次型之间可以通过坐标变换相互转化，那么这两个二次型的系数矩阵之间具有什么关系呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解这一问题。

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题目的答案就是题目的充分必要条件：答案既不能只是题目的充分条件，也不能是题目的必要条件

一、题目

已知，有 $3$ 阶矩阵：

$A = [\begin{matrix} b & a & a \\ a & b & a \\ a & a & b \end{matrix}]$

若 $r (A^{*})$ $=$ $1$ ，则下列选项正确的是哪一个：

[A]. $a \neq b$ 且 $b + 2 a$ $\neq$ $0$

[B]. $a \neq b$ 且 $b + 2 a$ $=$ $0$

[C]. $a = b$ 或 $b + 2 a$ $\neq$ $0$

[D]. $a = b$ 或 $b + 2 a$ $=$ $0$

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一、题目

已知 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B$ 满足：

${\begin{cases} A = \frac{1}{3} (B + E) \\ A^{2} = A \end{cases}$

则：

$B = ?$

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一、题目

已知：

$\begin{aligned} A & = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{array}] \\ B & = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] \end{aligned}$

则：

$A B = ?$

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行列式中的“消消乐”

一、题目

$\begin{aligned} | K | = \\ | \begin{array}{c} 1 & - 2 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 8 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & - 3 & 2 & 1 & - 1 \\ 1 & 2 & 5 & 2 & 1 & - 1 \\ 7 & 3 & 5 & 9 & 2 & 0 \\ 1 & 6 & 5 & - 5 & 3 & 2 \end{array} | \\ = ? \end{aligned}$

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范德蒙行列式“变体”行列式的计算

一、前言

我们知道，形如下面这样的行列式，被称之为“范德蒙行列式”：

$D_{n} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} & \dots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & \dots & x_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & x_{3}^{n - 1} & \dots & x_{n}^{n - 1} \end{matrix} |$

上面这个行列式的计算结果为：

$D_{n} = \prod_{1 ⩽ j < i ⩽ n} (x_{i} - x_{j})$

但是，在大部分的考试中，特别是考研数学中，并不会直接给我们一个标准形式的范德蒙行列式，更多的是会给出一个看上去像是其他形式的行列式，需要我们经过一些转化，才能转变为范德蒙行列式的标准形式，进而使用范德蒙行列式的计算公式。

在本文中，荒原之梦考研数学将给出若干道可以转变为范德蒙行列式计算的“范德蒙变体行列式”，并分析什么情况下可以考虑将一个行列式向范德蒙行列式转换。

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分类：线性代数

乘以自己还和自己相等的矩阵就是在单位矩阵框架内秩互补的矩阵

一、题目

关于由 $A B$ $=$ $O$ 可得 $r (A)$ $+$ $r (B)$ $⩽$ $n$ 的一个简单证明方式

一、前言

关于 $r (A)$ $+$ $r (E$ $-$ $A)$ $⩾$ $r (E)$ 的一个简单证明

一、前言

非齐次线性方程组不同解向量的系数相加等于 1 时，相加所得的向量也是该方程的解

一、题目

不同的数字相减一定不得零，但相加就不一定了

一、题目

利用“对称初等变换”求解合同矩阵中的可逆矩阵 C

一、题目

对称矩阵/单位矩阵经“对称初等变换”可以生成互为转置矩阵的两个矩阵

一、前言

对称初等变换示意图

单位矩阵可以用来记录初等变换

一、前言

线性代数中的 E12, E23 表示什么意思？

一、前言

通过坐标变换联系起来的两个二次型的系数矩阵互为合同矩阵

一、前言

题目的答案就是题目的充分必要条件：答案既不能只是题目的充分条件，也不能是题目的必要条件

一、题目

借助二次方程求解未知矩阵

一、题目

利用好分块矩阵的性质，可以节省计算步骤

一、题目

行列式中的“消消乐”

一、题目

范德蒙行列式“变体”行列式的计算

一、前言

一、题目

一、前言

一、前言

一、题目

一、题目

一、题目

一、前言

对 称 初 等 变 换 示 意 图

一、前言

一、前言

一、前言

一、题目

一、题目

一、题目

一、题目

一、前言

对称初等变换示意图