分类： 线性代数

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们证明下面这个公式：

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{AB} = \boldsymbol{O} \\
\Leftrightarrow & \ \mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{B}) \leqslant n
\end{aligned}
$$

其中，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n \times n$ 阶方阵。

继续阅读“关于由 $\boldsymbol{AB}$ $=$ $\boldsymbol{O}$ 可得 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $n$ 的一个简单证明方式”

一、前言

在考研数学的线性代数科目中，我们有时候会遇到要使用下面这个公式的题目：

$$
\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}) \geqslant \mathbf{r} (\boldsymbol{E})
$$

事实上，往年的考研数学真题中也曾出现过要用该性质的题目。但是，同学们在使用这个性质的时候，可能会对上面这个不等式为什么成立产生疑问，在文本中，「荒原之梦考研数学」就给出一种简单的证明方式，帮助同学们解除疑惑。

继续阅读“关于 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E}$ $-$ $\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E})$ 的一个简单证明”

一、题目

[A]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $1$

[B]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $3$

[C]. $k_{1}$ $\times$ $k_{2}$ $\times$ $k_{3}$ $=$ $1$

[D]. $k_{1}$ $=$ $1$ 且 $k_{2}$ $=$ $1$ 且 $k_{3}$ $=$ $1$

难度评级：

继续阅读“非齐次线性方程组不同解向量的系数相加等于 1 时，相加所得的向量也是该方程的解”

一、题目

[A]. $k \boldsymbol{\alpha}_{1}$

[B]. $k \boldsymbol{\alpha}_{2}$

[C]. $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$

[D]. $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $-$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$

难度评级：

继续阅读“不同的数字相减一定不得零，但相加就不一定了”

一、题目

难度评级：

继续阅读“利用“对称初等变换”求解合同矩阵中的可逆矩阵 C”

一、前言

关于主对角线对称的矩阵，特别是单位矩阵具有很多的神奇的性质，在「荒原之梦考研数学」的《单位矩阵可以用来记录初等变换》一文中，我们学习了单位矩阵在“存储”和“写入”矩阵初等行变换和初等列变换上的能力。

在本文中，我们将学习单位矩阵和一般的对称矩阵在“对称初等变换”条件下自动生成其转置矩阵的特殊性质。

对 称 初 等 变 换 示 意 图

graph TD
	O{O} --第 1 行与第 2 行的初等变换--> A1[A1];
	O --第 1 列与第 2 列的初等变换--> B1[B1];
	A1 --第 2 行与第 3 行的初等变换--> A2[A2];
	B1 --第 2 列与第 3 列的初等变换--> B2[B2];
	A2 --第 i 行与第 j 行的初等变换--> A[A];
	B2 --第 i 列与第 j 列的初等变换--> B[B];
	A --> C[A 和 B 互为转置矩阵];
	B --> C;

继续阅读“对称矩阵/单位矩阵经“对称初等变换”可以生成互为转置矩阵的两个矩阵”

一、前言

线性代数中的“单位矩阵（$\boldsymbol{E}$）”是一个非常特别的矩阵，这个矩阵非常简单，以至于可以用来记录初等变换的过程。

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解一下单位矩阵的这一作用。

继续阅读“单位矩阵可以用来记录初等变换”

一、前言

在线性代数中，我们会遇到关于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 的如下写法：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{E}_{12} \quad \boldsymbol{E}_{23} \quad \boldsymbol{E}_{31} \quad \cdots
\end{aligned}
$$

那么，上面这种写法表示什么意思呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解一下。

继续阅读“线性代数中的 E12, E23 表示什么意思？”

一、前言

如果两个二次型之间可以通过坐标变换相互转化，那么这两个二次型的系数矩阵之间具有什么关系呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解这一问题。

继续阅读“通过坐标变换联系起来的两个二次型的系数矩阵互为合同矩阵”

一、题目

[A]. $a \neq b$ 且 $b + 2 a$ $\neq$ $0$

[B]. $a \neq b$ 且 $b + 2 a$ $=$ $0$

[C]. $a = b$ 或 $b + 2 a$ $\neq$ $0$

[D]. $a = b$ 或 $b + 2 a$ $=$ $0$

难度评级：

继续阅读“题目的答案就是题目的充分必要条件：答案既不能只是题目的充分条件，也不能是题目的必要条件”

一、题目

已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足：

$$
\begin{cases}
\boldsymbol{A} = \frac{1}{3} (\boldsymbol{B} + \boldsymbol{E}) \\ \\
\boldsymbol{A} ^{2} = \boldsymbol{A}
\end{cases}
$$

则：

$$
\boldsymbol{B} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“借助二次方程求解未知矩阵”

一、题目

难度评级：

继续阅读“利用好分块矩阵的性质，可以节省计算步骤”

一、题目

难度评级：

继续阅读“行列式中的“消消乐””

一、前言

我们知道，形如下面这样的行列式，被称之为“范德蒙行列式”：

$$
D _{ n } = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
x _{ 1 } & x _{ 2 } & x _{ 3 } & \cdots & x _{ n } \\
x _{ 1 } ^ { 2 } & x _{ 2 } ^ { 2 } & x _{ 3 } ^ { 2 } & \cdots & x _{ n } ^ { 2 } \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
x _{ 1 } ^ { n – 1 } & x _{ 2 } ^ { n – 1 } & x _{ 3 } ^ { n – 1 } & \cdots & x _{ n } ^ { n – 1 }
\end{vmatrix}
$$

上面这个行列式的计算结果为：

$$
D _{ n } = \prod _{ 1 \leqslant j < i \leqslant n } \left( x _{ i } – x _{ j } \right)
$$

但是，在大部分的考试中，特别是考研数学中，并不会直接给我们一个标准形式的范德蒙行列式，更多的是会给出一个看上去像是其他形式的行列式，需要我们经过一些转化，才能转变为范德蒙行列式的标准形式，进而使用范德蒙行列式的计算公式。

在本文中，荒原之梦考研数学将给出若干道可以转变为范德蒙行列式计算的“范德蒙变体行列式”，并分析什么情况下可以考虑将一个行列式向范德蒙行列式转换。

继续阅读“范德蒙行列式“变体”行列式的计算”

一、题目

难度评级：

继续阅读“矩阵乘法一般是不能交换的：除非他们相乘得单位矩阵”