分类： 线性代数

一、题目

判断下列数字的逆序数以及是奇排列还是偶排列：

一、$2431$

二、$45321$

三、$1,2,\dots ,n$

难度评级：

继续阅读“你知道怎么判断一组数字的逆序数吗？”

一、题目

已知 $\mathit{\alpha },\mathit{\beta }$ 是 $n$ 维列向量，则以下说法中正确的是哪个？

(i) $\mathit{\alpha }{\mathit{\beta }}^{\mathrm{\top }}=\mathit{\beta }{\mathit{\alpha }}^{\mathrm{\top }}$

(ii) ${\mathit{\alpha }}^{\mathrm{\top }}\mathit{\beta }={\mathit{\beta }}^{\mathrm{\top }}\mathit{\alpha }$

(iii) $\mathit{\alpha }{\mathit{\beta }}^{\mathrm{\top }}={\mathit{\alpha }}^{\mathrm{\top }}\mathit{\beta }$

(iiii) ${\mathit{\alpha }}^{\mathrm{\top }}\mathit{\beta }{\mathit{\alpha }}^{\mathrm{\top }}={\mathit{\beta }}^{\mathrm{\top }}\mathit{\alpha }{\mathit{\beta }}^{\mathrm{\top }}$

难度评级：

继续阅读“这道“转置”题，你转晕了嘛？”

一、题目

下面的向量组中，线性相关的和线性无关的向量组分别是哪些？

(i) $(1,2,3{)}^{\mathrm{\top }}$, $(3,-1,5{)}^{\mathrm{\top }}$, $(0,4,-2{)}^{\mathrm{\top }}$, $(1,3,0{)}^{\mathrm{\top }}$

(ii) $(a,1,b,0,0{)}^{\mathrm{\top }}$, $(c,0,d,2,0{)}^{\mathrm{\top }}$, $(e,0,f,0,3{)}^{\mathrm{\top }}$

(iii) $(a,1,2,3{)}^{\mathrm{\top }}$, $(b,1,2,3{)}^{\mathrm{\top }}$, $(c,3,4,5{)}^{\mathrm{\top }}$, $(d,0,0,0{)}^{\mathrm{\top }}$

(iiii) $(1,0,3,1{)}^{\mathrm{\top }}$, $(-1,3,0,-2{)}^{\mathrm{\top }}$, $(2,1,7,2{)}^{\mathrm{\top }}$, $(4,2,14,5{)}^{\mathrm{\top }}$

难度评级：

继续阅读“向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关：四个三维列向量一定线性相关”

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是 $5\times 4$ 矩阵, 且 $\mathit{A}$ 的列向量线性无关, $\mathit{B}$ 是四阶矩阵, 满足 $2\mathit{A}\mathit{B}=\mathit{A}$. 则 $r\left({\mathit{B}}^{\ast }\right)=?$

难度评级：

继续阅读“当原矩阵满秩的时候，伴随矩阵也满秩”

一、题目

已知 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& a\\ 2& 3& a& 4\\ 3& 5& 1& 9\end{array}\right],{\mathit{A}}^{\ast }$ 是 $\mathit{A}$ 的伴随矩阵, 若 $r\left({\mathit{A}}^{\ast }\right)=1$, 则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“这道题看似有多种解法，其实只能用行阶梯来做”

一、题目

已知 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}1& 2& 0\\ 3& a& 2\\ a& 4& a\end{array}\right]$, 则 $a=-2$ 是 $r(\mathit{A})=2$ 的充分必要条件吗？

难度评级：

继续阅读“你能看出这个矩阵里面有一个不等于零的二阶子式吗？”

一、题目

已知 $\mathit{A}$, $\mathit{B}$, ${\mathit{A}}^{\mathbf{\ast }}$ 均为三阶非零矩阵, 且满足 $\mathit{A}\mathit{B}=\mathit{O}$, 则 $r(\mathit{B})=?$

难度评级：

继续阅读“又一道判断矩阵秩的题目，不过这次伴随矩阵来了，情况变得有点复杂……”

一、题目

已知 $\mathit{A},\mathit{B}$ 都是四阶非零矩阵，且 $\mathit{A}\mathit{B}=\mathit{O}$, 那么：

若 $r(\mathit{A})=1$, 则 $r(\mathit{B})=?$;

若 $r(\mathit{A})=2$, 则 $r(\mathit{B})=?$;

若 $r(\mathit{A})=3$, 则 $r(\mathit{B})=?$;

若 $r(\mathit{A})=4$, 则 $r(\mathit{B})=?$.

难度评级：

继续阅读“两个矩阵相乘等于零矩阵的时候，这两个矩阵的秩有什么关系？”

一、题目

已知 $a$ 是任意常数, 下列矩阵中秩有可能不等于 3 的是哪一个矩阵？

(A) $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& a& 0\\ 0& 0& 1& a-1\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& a& 0\\ 0& 0& a& a+1\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& a& 0\\ 0& 0& 0& a\\ 0& 0& 0& a+1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& a& 0\\ 0& 0& 0& a+1\\ 0& 0& 0& 2a+2\end{array}\right]$

难度评级：

继续阅读“这道题是在考“秩”吗？不！考的是矩阵的子式”

一、题目

若矩阵 $\mathit{A}$ 的秩为 $r$, 则意味着什么？

难度评级：

继续阅读“根据矩阵秩的定义，可以推导出哪些结论？”

一、题目

若 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 2& 3& 5\\ 1& a& 10\end{array}\right]$, 且秩 $r(\mathit{A})=2$, 则 $a=?$

难度评级：

继续阅读““秩”小于“阶”，则行列式的值等于零”

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 为三阶可逆矩阵, 将 $\mathit{A}$ 的第一行乘以 $-2$ 得到矩阵 $\mathbf{B}$, 则能得出什么结论？

难度评级：

继续阅读“乘以一个常数对逆矩阵的影响是什么？”

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是三阶矩阵，将 $\mathit{A}$ 的 $1$, $2$ 两行互换得到矩阵 $\mathit{B}$, 再将 $\mathit{B}$ 第三列的 $-2$ 倍加到第一列得到单位矩阵, 则 $\mathit{A}=?$

难度评级：

继续阅读“你会进行矩阵的“逆初等变换”吗？”

一、题目

已知 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$, $\mathit{B}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{31}+2a_{11}& a_{32}+2a_{12}& a_{33}+2a_{13}\end{array}\right]$, ${\mathit{P}}_1=\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 2& 0& 1\end{array}\right]$, ${\mathit{P}}_2=\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right]$, ${\mathit{P}}_3=\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$, 则 如何使用 $\mathit{A}$, ${\mathit{P}}_{\mathbf{1}}$, ${\mathit{P}}_{\mathbf{2}}$ 或 ${\mathit{P}}_{\mathbf{3}}$ 表示 $\mathit{B}$ $?$

难度评级：

继续阅读“这个 plus 版“左行右列”类问题你还会做吗？”

一、题目

已知 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$, ${\mathit{P}}_1=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right]$, ${\mathit{P}}_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$, 则 ${\mathit{P}}_2\mathit{A}{\mathit{P}}_1=?$

难度评级：

继续阅读““左行右列”原则怎么用？看这道题就行了”