分类： 线性代数

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是三阶可逆矩阵，$\mathit{\lambda }=2$ 是 $\mathit{A}$ 的一个特征值，则 $\frac{1}{3}{\mathit{A}}^2-2\mathit{E}$ 必有特征值（）

难度评级：

继续阅读“对矩阵的运算会同步反映到矩阵的特征值上”

一、题目

要使 ${\mathit{\eta }}_1=(1,0,2{)}^{\mathrm{\top }},{\mathit{\eta }}_2=(0,1,-1{)}^{\mathrm{\top }}$ 都是齐次方程组 $\mathit{A}\mathit{x}=\mathbf{0}$ 的解，则矩阵 $\mathit{A}$ 可 以是下列哪一个？

(A) $\left[\begin{array}{lll}2& 0& -1\\ 4& 0& -2\end{array}\right]$.

(B) $\left[\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$.

(C) $\left[\begin{array}{ccc}4& -2& -2\\ 2& -1& -1\\ -6& 3& 3\end{array}\right]$.

(D) $\left[\begin{array}{ccc}4& -2& -2\\ 0& 1& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$.

难度评级：

继续阅读“线性方程组有几个自由未知数，就有几个线性无关的解向量”

一、题目

已知，齐次方程组 $\mathit{A}\mathit{x}=\mathbf{0}$ 的系数矩阵化为阶梯形是 $\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 0& -2& 5\\ 0& 0& 1& 3& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$, 则方程组自由变量不能取成下列的哪一项？

(A) $x_2,x_3$.

(B) $x_2,x_5$.

(C) $x_1,x_4$.

(D) $x_1,x_2$.

难度评级：

继续阅读“自由未知数和非自由未知数的取值不是固定的也不是任意的”

一、题目

已知 $\mathit{\alpha }=(1,-1,0{)}^{\mathrm{T}}$ 是二次型 ${\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}=a{x}_1^2-2x_3^2-2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2b{x}_2{x}_3$ 的特征向量, 则此二次型经正交变换所得标准形是（）

难度评级：

继续阅读“二次型中标准型所用的特征值的书写顺序有特殊规定吗？没有，但一般按照从小到大，或者从大到小的顺序写——如果有特征向量，则特征值要与特征向量顺序保持一致”

一、题目

二次型 ${\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}=x_1^2+4x_2^2+x_3^2+4x_1{x}_2+2x_1{x}_3+4x_2{x}_3$ 在正交变换下的标准形为（）

难度评级：

继续阅读“正交变换下标准型的变量 $y^2$ 的系数就是二次型矩阵的特征值”

一、题目

若二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ $=$ $a{x}_1^2+4x_2^2+a{x}_3^2+6x_1{x}_2+2x_2{x}_3$ 是正定的，则 $a$ 的取值范围是多少？

难度评级：

继续阅读“正定二次型的各阶顺序主子式的值都大于零”

一、题目

二次型 $2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3-2x_2{x}_3$ 的正惯性指数 $p=?$

难度评级：

继续阅读“正惯性指数就是二次型对应的矩阵 A 的正特征值的个数”

一、题目

已知二次型 ${\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}$ $=$ $a{x}_1^2+2x_2^2+a{x}_3^2+6x_1{x}_2+2x_2{x}_3$ 的秩为 2 , 则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“你知道怎么由二次型式子写出对应的矩阵 A 吗”

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是三阶实对称矩阵，若正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}AQ=\left[\begin{array}{lll}3& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right]$, 如果 ${\mathit{\alpha }}_1=(1$, $0,-1{)}^{\mathrm{\top }},{\mathit{\alpha }}_2=(0,1,1{)}^{\mathrm{\top }}$ 是矩阵 $\mathit{A}$ 属于特征值 $\lambda =3$ 的特征向量，则 $Q=?$

难度评级：

继续阅读“实对称矩阵相似对角化时涉及到的正交化和单位化怎么算？”

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是三阶矩阵, ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 是三维线性无关的列向量，且 $\mathit{A}{\mathit{\alpha }}_1={\mathit{\alpha }}_2+{\mathit{\alpha }}_3,\mathit{A}{\mathit{\alpha }}_2={\mathit{\alpha }}_1+$ ${\mathit{\alpha }}_3,\mathit{A}{\mathit{\alpha }}_3={\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2$, 则矩阵 $\mathit{A}$ 的特征值是（）

难度评级：

继续阅读“千万不要被这道题目的表象骗了：有些条件并不是真正的已知条件”

一、题目

已知矩阵 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}3& 1& 2\\ 0& 2& a\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$ 和对角矩阵相似，则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“关于可以相似对角化的矩阵没有计算思路怎么办？特征值特征向量先算一算”

一、题目

已知 ${\mathit{P}}^{-1}\mathit{A}\mathit{P}=\left[\begin{array}{lll}1& & \\ & 1& \\ & & -1\end{array}\right],\mathit{P}=({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3)$ 可逆，则矩阵 $\mathit{A}$ 关于特征值 $\lambda =1$ 的特征向量是多少？

难度评级：

继续阅读“使一个矩阵经相似对角化变成对角矩阵的矩阵 P 就是由该矩阵的特征向量组成的”

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是三阶实对称矩阵，特征值是 $1,3,-2$, 其中 ${\mathit{\alpha }}_1=(1,2,-2{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_2=(4,-1,a{)}^{\mathrm{\top }}$ 分别是属于特征值 $\lambda =1$ 与 $\lambda =3$ 的特征向量，那么矩阵 $\mathit{A}$ 属于特征值 $\lambda =-2$ 的 特征向量是（）

难度评级：

继续阅读“实对称矩阵（包括对角矩阵）属于不同特征值的特征向量正交”

一、前言

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）总结了实对称矩阵在考研数学中的常用性质。

继续阅读“实对称矩阵的性质汇总”

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是三阶矩阵，且矩阵 $\mathit{A}$ 各行元素之和均为 $5$, 则矩阵 $\mathit{A}$ 必有特征向量（）

难度评级：

继续阅读“如果深刻理解了关于特征值和特征向量的这个等式，这道题目就可以秒解”