分类： 线性代数

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵, 则下列命题中正确的是哪个？

(A) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O} \textcolor{orangered}{ \Leftrightarrow } \boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$ 且 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$
(B) 如 $A B=O$, 则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$
(C) 如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$
(D) 如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$

难度评级：

继续阅读“注意命题表述的区别：“则”是单向的，“等价”是双向的”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵, 则以下运算正确的是哪个？

(A) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})=\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{B}^{2}$

(B) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$

(C) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{2}$

(D) $(A B)^{*}=B^{*} A^{*}$

难度评级：

继续阅读“数字的运算规律不能简单的套用到矩阵上”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵, $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵, $\boldsymbol{\Lambda}_{1}$, $\Lambda_{2}$ 都是 $n$ 阶对角矩阵, 在下列运算中, 交换律一定成立的是哪个或者哪些？

(1) $A A^{*}=A^{*} A$

(2) $\Lambda_{1} \Lambda_{2}=\Lambda_{2} \Lambda_{1}$

(3) $A^{m} A^{t}=A^{t} A^{m}$

(4) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A}$

(5) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\Lambda}_{1}=\boldsymbol{\Lambda}_{1} \boldsymbol{A}$

(6) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})$

难度评级：

继续阅读“你知道哪些矩阵运算满足交换律吗？”

一、题目

已知 $\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{ccccc}0 & 1 & & & \\ & 0 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & & 1 \\ & & & & 0\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{A}=\left[a_{i j}\right]$ 都是 $n$ 阶矩阵，则 $\boldsymbol{ AJ } = ?$

难度评级：

继续阅读“抽象矩阵空白的地方默认都是元素 “0””

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵且 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}=\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$, 则 $|\boldsymbol{A}|=?$

难度评级：

继续阅读“行列式的数乘和次幂各自有什么运算规律？”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, $\boldsymbol{A^{*}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 则 $|A^{*}| = ?$

难度评级：

继续阅读“伴随矩阵和原矩阵有什么关系？”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 均为四维列向量, $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}\right|=a$, $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right|=b$, 则 $\left|\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{1}+2 \boldsymbol{\beta}_{2}\right|=?$

难度评级：

继续阅读“交换一次行或者列的位置，行列式的值就要变一次正负号”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ 是三阶矩阵, 则下列行列式中等于 $|\boldsymbol{A}|$ 的是哪个？

(A) $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{1}\right|$

(B) $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{1}\right|$

(C) $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right|$

(D) $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right|$

难度评级：

继续阅读“加加减减之后，矩阵 A 还是原来的“自己”吗？”

一、题目

已知，$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 为三维列向量,矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right], \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{3}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 3 \boldsymbol{\alpha}_{2}\right]$, 若行列式 $|\boldsymbol{A}|=2$, 则行列式 $|\boldsymbol{B}|=?$

难度评级：

继续阅读“这里的矩阵 B 可以由矩阵 A 变过来，你看出来了吗？”

一、题目

下列行列式中, 行列式的值不等于 $24$ 的是哪个？

难度评级：

继续阅读“副对角线不全为零的四阶行列式怎么求？”

一、题目

已知，行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$, 则该行列式第一行元素的代数余子式之和等于多少？

难度评级：

继续阅读“对代数余子式之和的求解可以转换为对行列式的求解”

一、题目

已知，多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & x \\ 1 & 2 & x & 3 \\ 1 & x & 2 & 3 \\ x & 1 & 2 & x\end{array}\right|$ 中, 则 $x^{4}$ 与 $x^{3}$ 的系数依次为：

(A) $-1,-1$
(B) $1,-1$
(C) $-1,1$
(D) 1,1

难度评级：

继续阅读“这个四阶行列式千万不要展开求解”

题目 01

若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a+1,1, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(a,-2,2-a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(a-1,-3,4-a)^{\mathrm{\top}}$ 线性相关, 则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“线性相关的向量组成的行列式一定等于零”

一、题目

已知 $\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right] \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 6\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}=?$

难度评级：

继续阅读“当一个矩阵和不可逆矩阵相乘，怎么求解这个未知矩阵？”

一、题目

若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,-1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(-1,1,0)^{\mathrm{\top}}$ 且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1)^{\mathrm{\top}}, A \boldsymbol{\alpha}_{2}=$ $(-1,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,-4)^{\mathrm{\top}}$, 则 $\boldsymbol{A}=?$

难度评级：

继续阅读“做这道题不需要事先知道待求解的矩阵是几行几列”