分类： 线性代数

一、题目

已知，二阶实对称矩阵 $\mathit{A}$ 的一个特征向量为 $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right)$, 且 $|\mathit{A}|<0$, 则 $k\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right)$、$\left(\begin{array}{l}1\\ 3\end{array}\right)$、$k_1\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{l}1\\ 3\end{array}\right)$ $(k_1\ne 0$ 且 $k_2\ne 0)$ 和 $k_1\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{l}1\\ 3\end{array}\right)$（$k_1$ 和 $k_2$ 不同时为零）中，一定是 $\mathit{A}$ 的特征向量的是哪个或哪些？

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一、题目

已知，线性方程组 $\{\begin{array}{c}{x}_1-\lambda x_2-2x_3=-1\\ x_1-x_2+\lambda x_3=2\\ 5x_1-5x_2-4x_3=\lambda \end{array}$ 有唯一解，则 $\lambda$ 满足什么条件？

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一、题目

当 $t$ 满足什么条件时，可以保证二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ $=$ $2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1{x}_2+2t{x}_2{x}_3$ 是正定的？

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一、题目

已知 $\mathit{A}$ 为二阶方阵, $\mathit{B}$ 为三阶方阵，且 $|\mathit{A}|=|\mathit{B}|=2$, 则 $\left|\begin{array}{cc}\mathit{O}& {\mathit{A}}^{\ast }\\ -2\mathit{B}& \mathit{O}\end{array}\right|=?$

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一、题目

已知 ${\mathit{\alpha }}_1=(1,2,3,1{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_2=(3,4,7,-1{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_3=(2,6,a,6{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_4=(0,1,3,a{)}^{\mathrm{\top }}$, 那么 $a=8$ 是 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_4$ 线性相关的充要条件吗？

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一、题目

已知矩阵 $\mathit{A}$ 的伴随矩阵 ${\mathit{A}}^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}4& -2& 0& 0\\ -3& 1& 0& 0\\ 0& 0& -4& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$, 则 $\mathit{A}=?$

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一、题目

已知 $\mathit{P}\mathit{A}=\mathit{B}\mathit{P}$, 其中 $\mathit{P}=\left[\begin{array}{lll}0& 2& 4\\ 1& 0& 0\\ 0& 3& 5\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$, 则 ${\mathit{A}}^{100}=?$

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一、题目

下面的二次型中，经正交变换后得到的标准形不是 $y_1^2+3y_2^2-y_3^2$ 的是哪个？

(A) $3x_2^2+2x_1{x}_3$

(B) $x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_1{x}_2$

(C) $x_1^2+x_2^2+x_3^2-4x_1{x}_2-4x_2{x}_3$

(D) $2x_1^2+2x_2^2-x_3^2+2x_1{x}_2$

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一、题目

已知，二次型 $a{x}_1^2+(2a-1)x_2^2+a{x}_3^2-2x_1{x}_2+2a{x}_1{x}_3-2x_2{x}_3$
的正惯性指数 $p=1$. 则 $a$ 的取值范围是多少？

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一、前言

将二次型化为标准型和规范型有两种常用的方法，一种是正交变换法，另一种是配方法（其中最常用的是拉格朗日配方法）。

但是，使用配方的一个障碍是我们有时候比较难以凑出来平方项。

在蒲和平老师主编，由北京高等教育出版社于 2014 年 08 月出版的《线性代数疑难问题选讲》一书（ISBN 978-7-04-040392-3）中，提出了一个令人耳目一新的改进的配方法：偏导数法。

在本文中，荒原之梦（zhaokaifeng.com）将对蒲和平老师的这一偏导数配方法加以通俗的解析，希望能帮助大家更加顺畅的解答有关将二次型化为标准型或者规范型的问题。

一、题目

已知，二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ $=$ $2x_1^2+x_2^2+2x_3^2+2x_1{x}_2+2t{x}_2{x}_3$ 的秩为 $2$, 则 $t=?$

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一、题目

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ $=$ $x_2^2+2x_1{x}_3$ 的正惯性指数 $p=?$

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一、题目

使用拉格朗日配方法将 $f$ $=$ $2x_1{x}_2+2x_1{x}_3-6x_2{x}_3$ 化为标准形，并求出对应的线性变换矩阵 $C$.

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一、题目

使用拉格朗日配方法将 $f$ $=$ $x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+6x_2{x}_3$ 化为标准形，并写出对应的线性变换矩阵。

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