一、题目
已知，二次型 $a x_{1}^{2}+(2 a-1) x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 a x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$
的正惯性指数 $p=1$. 则 $a$ 的取值范围是多少？
难度评级：
继续阅读“通过二次型的正惯性指数确定变量的取值范围”分类： 线性代数
对二次型配方法的改进：蒲和平偏导数法解析
一、前言 
将二次型化为标准型和规范型有两种常用的方法，一种是正交变换法，另一种是配方法（其中最常用的是拉格朗日配方法）。
但是，使用配方的一个障碍是我们有时候比较难以凑出来平方项。
在蒲和平老师主编，由北京高等教育出版社于 2014 年 08 月出版的《线性代数疑难问题选讲》一书（ISBN 978-7-04-040392-3）中，提出了一个令人耳目一新的改进的配方法：偏导数法。
在本文中，荒原之梦（zhaokaifeng.com）将对蒲和平老师的这一偏导数配方法加以通俗的解析，希望能帮助大家更加顺畅的解答有关将二次型化为标准型或者规范型的问题。
继续阅读“对二次型配方法的改进：蒲和平偏导数法解析”根据二次型的秩求解二次型矩阵中的未知数：矩阵中有一个不为零的子式你能找到吗？
一、题目
已知，二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 t x_{2} x_{3}$ 的秩为 $2$, 则 $t=?$
难度评级：
继续阅读“根据二次型的秩求解二次型矩阵中的未知数：矩阵中有一个不为零的子式你能找到吗？”这个带有平方项的二次型却没办法按照拉格朗日配方法配成完全平方，该怎么办？
一、题目
二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{3}$ 的正惯性指数 $p=?$
难度评级：
继续阅读“这个带有平方项的二次型却没办法按照拉格朗日配方法配成完全平方，该怎么办？”对没有平方项的二次项使用拉格朗日配方法：有时候直接反解方程组比求解逆矩阵更简单
一、题目
使用拉格朗日配方法将 $f$ $=$ $2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ 化为标准形，并求出对应的线性变换矩阵 $C$.
难度评级：
继续阅读“对没有平方项的二次项使用拉格朗日配方法：有时候直接反解方程组比求解逆矩阵更简单”对带有平方项的二次项使用拉格朗日配方法：配方后得到的式子中没有的项也要通过乘以系数 0 的方式“凑”上去
一、题目
使用拉格朗日配方法将 $f$ $=$ $x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+6 x_{2} x_{3}$ 化为标准形，并写出对应的线性变换矩阵。
难度评级：
继续阅读“对带有平方项的二次项使用拉格朗日配方法：配方后得到的式子中没有的项也要通过乘以系数 0 的方式“凑”上去”将二次型化为标准型（规范型）的方法之：拉格朗日配方法
一、前言
在考研数学中，将二次型化为标准型或者规范型有两种常用的方法，即正交变换法和拉格朗日配方法。那么，拉格朗日配方法相对于正交变换法有哪些优点呢？拉格朗日配方法的具体计算步骤是怎样的呢？在计算过程中需要注意什么问题呢？
针对但不限于上面这些问题，在本文中，荒原之梦考研数学（zhaokaifeng.com）将逐一回答。
继续阅读“将二次型化为标准型（规范型）的方法之：拉格朗日配方法”小提示：如果对拉格朗日配方法不够熟悉的话，阅读本文就需要多一点耐心，最好准备好纸和笔，跟着文中的步骤亲自计算一遍，把本文从头学到尾，你会很有收获感！
特征值各不相同的矩阵 A 一定可以相似对角化，且与 A 相似的对角矩阵的主对角线就是由 A 的特征值所组成
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 2\end{array}\right]$, 则和矩阵 $\boldsymbol{A}$ 相似的对角矩阵是（）
难度评级：
继续阅读“特征值各不相同的矩阵 A 一定可以相似对角化，且与 A 相似的对角矩阵的主对角线就是由 A 的特征值所组成”你知道怎么在已知特征向量得前提下求解矩阵中得未知数吗
一、题目
已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,1,-1)^{\mathrm{\top}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}7 & 4 & -1 \\ 4 & 7 & -1 \\ -4 & -4 & x\end{array}\right]$ 的特征向量，则 $x=?$
难度评级：
继续阅读“你知道怎么在已知特征向量得前提下求解矩阵中得未知数吗”你知道怎么在已知矩阵特征值的情况下求解伴随矩阵得特征值吗
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, $\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值（$\lambda \neq 0$）, 则 $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{2}+\boldsymbol{E}$ 必有特征值（）
难度评级：
继续阅读“你知道怎么在已知矩阵特征值的情况下求解伴随矩阵得特征值吗”已知特征值求矩阵中未知数时就不要想着怎么凑出来简化版的求特征值的式子了
一、题目
已知 $-2$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & -2 \\ 2 & x & -2 \\ -2 & 2 & 6\end{array}\right]$ 的特征值，则 $x=?$
难度评级：
继续阅读“已知特征值求矩阵中未知数时就不要想着怎么凑出来简化版的求特征值的式子了”什么是可交换的矩阵？就是使 AB = BA 成立的矩阵
一、题目
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$, 则和矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可交换的矩阵是（）
难度评级：
继续阅读“什么是可交换的矩阵？就是使 AB = BA 成立的矩阵”若要使 n 个 n 维向量可以表示任意一个 n 维向量，这 n 个 n 维向量必须线性无关
一、题目
若对于任意的 $b=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)^{\mathrm{\top}}$, 方程组 $\left\{\begin{array}{l}
2 x_{1}+\lambda x_{2}-x_{3}=b_{1} \\
\lambda x_{1}-x_{2}+x_{3}=b_{2} \\
4 x_{1}+5 x_{2}-5 x_{3}=b_{3}
\end{array}\right.$ 总有解，则 $\lambda$ 应满足什么条件？
难度评级：
继续阅读“若要使 n 个 n 维向量可以表示任意一个 n 维向量，这 n 个 n 维向量必须线性无关”有无穷多解的非齐次线性方程组扩展矩阵的秩一定小于未知数的个数
一、题目
已知方程组 $\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & a-2 \\ 3 & a & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2 \\ a \\ 16\end{array}\right]$ 有无穷多解，则 $a=?$
难度评级：
继续阅读“有无穷多解的非齐次线性方程组扩展矩阵的秩一定小于未知数的个数”只有零解的齐次线性方程组的系数矩阵对应的行列式一定不等于零
一、题目
已知齐次方程组 $\left\{\begin{array}{l}
\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \\
x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=0 \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}=0
\end{array}\right.$ 只有零解，则 $\lambda$ 满足什么条件。
难度评级：
继续阅读“只有零解的齐次线性方程组的系数矩阵对应的行列式一定不等于零”