分类： 线性代数

一、题目

若四维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关, 且向量 $\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{4}$, $\boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}$, $\boldsymbol{\beta}_{4}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$, $\boldsymbol{\beta}_{5}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$. 则 $r\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{5}\right)=?$

难度评级：

继续阅读“如何建立两个向量组之间的联系？”

一、题目

$a=1$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1, a)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, a, 1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(a, 1,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(-2,-2, a+$ $6)^{\mathrm{\top}}$ 的秩为 2 的充要条件吗？

难度评级：

继续阅读“什么样的是充分条件？什么样的是必要条件？”

一、题目

若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 的秩为 $r$, 则下列命题中正确的是哪个？

(A) 向量组中任意 $r-1$ 个向量都线性无关

(B) 向量组中任意 $r$ 个向量都线性无关

(C) 向量组中任意 $r-1$ 个向量都线性相关

(D) 向量组中任意 $r+1$ 个向量都线性相关

难度评级：

继续阅读“秩对于向量组意味着什么？”

一、前言

抽象矩阵是线性代数中的学习和研究中一种很重要的范畴。在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将针对考研数学线性代数中抽象矩阵的运算规律和性质做一个汇总与分析。

继续阅读“线性代数抽象矩阵（块矩阵）运算规则（性质）汇总”

一、题目

已知，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性表出, 则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关是 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性无关的什么条件？

难度评级：

继续阅读“借助“盒子塌缩”理论形象化理解向量组的线性相关与无关”

一、题目

已知，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关,向量 $\boldsymbol{\beta}_{1}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示, 向量 $\boldsymbol{\beta}_{2}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则以下说法正确的是哪个？

(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{1}$ 线性无关

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性无关

(C) $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性相关

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}+\boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性相关

难度评级：

继续阅读“一个向量和一个向量组无关，则这个向量和这个向量组中的任意个向量都无关”

一、题目

已知，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关, $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关, 则下列说法正确的是哪个？

(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示.

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示.

(C) $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示.

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示.

难度评级：

继续阅读“线性无关的向量组内部各个向量都是线性无关的”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\beta}_{1}=(4,-2, a)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(7, b, 4)^{\mathrm{\top}}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(-2,1,-1)^{\mathrm{\top}}$ 线性表示, 则 $a = ?$, $b = ?$

难度评级：

继续阅读“通过向量组线性相关的性质求解未知数”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,0,5)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\beta}$ 为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 的线性组合, 则 $\boldsymbol{\beta}$ 可能是哪一个？

(A) $(0,1,0)^{\mathrm{\top}}$.

(B) $(1,3,5)^{\mathrm{\top}}$.

(C) $(5,0,1)^{\mathrm{\top}}$.

(D) $(0,1,5)^{\mathrm{\top}}$.

难度评级：

继续阅读“在向量的线性组合中，任何数乘以零元素都得零”

一、题目

已知四维列向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关, 则下列向量组中线性无关的是哪个？

(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$.

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$.

(C) $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$.

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$.

难度评级：

继续阅读“线性无关的向量组「乘以」线性相关的向量组会得到一个线性相关的向量组”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right]$, $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}\right]$, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_{n}\right]$ 都是 $n$ 阶矩阵。

记向量组 ( I ) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$; (II) $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}$; (III) $\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_{n}$

若向量组 ( III ) 线性相关, 则以下说法正确的是哪个？

(A) (Ⅰ) , (Ⅱ) 均线性相关
(B) (Ⅰ) 或 (Ⅱ) 中至少有一个线性相关
(C) (Ⅰ) 一定线性相关
(D) (Ⅱ) 一定线性相关

难度评级：

继续阅读“对向量组是否线性相关的判断可以转化为对行列式是否等于零的判断”

一、题目

已知，向量组（Ⅰ）：$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$; 向量组（II）：$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}, \boldsymbol{\alpha}_{s+1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s+t}$, 则正确命題是哪个？

(A) ( I ) 无关 $\Rightarrow$ ( II ) 无关

(B) ( I ) 无关 $\Rightarrow$ ( II ) 相关

(C) ( II ) 相关 $\Rightarrow$ ( I ) 相关

(D) ( II ) 无关 $\Rightarrow$ ( I ) 无关

难度评级：

继续阅读“向量组：少的相关多的一定相关，多的无关少的一定无关”

一、题目

已知，向量组 (Ⅰ): $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}\right)$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(a_{21}, a_{21}, a_{23}\right)$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(a_{31}, a_{32}, a_{33}\right)$; 向量组 (II) : $\boldsymbol{\beta}_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14}\right)$, $\boldsymbol{\beta}_{2}=\left(a_{21}, a_{21}, a_{23}, a_{24}\right)$, $\boldsymbol{\beta}=\left(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34}\right)$, 则正确的命題是哪个？

(A) (I) 相关 $\Rightarrow$ (II) 相关

(B) (I) 无关 $\Rightarrow$ (II) 无关

(C) (II) 无关 $\Rightarrow$ (I) 无关

(D) (II) 相关 $\Rightarrow$ (I) 无关

难度评级：

继续阅读“向量：短无关则长无关，长相关则短相关”

一、题目

向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关的充分必要条件是哪个？

(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 均不是零向量

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 中任意 $s-1$ 个向量都线性无关

(C) 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}, \boldsymbol{\alpha}_{s+1}$ 线性无关

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$, 中每一个向量都不能由其余 $s-1$ 个向量线性表出

难度评级：

继续阅读“向量线性无关的充要条件：任一个向量都不能由其余向量线性表出”

一、题目

设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$, 则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 的充分必要条件是：

(A) $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性相关

(B) $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关

(C) $\boldsymbol{A}$ 中每一个列向量都可由其他列向量线性表示

(D) $\boldsymbol{A}$ 中一定有 2 个列向量坐标成比例

难度评级：

继续阅读“行列式等于零的充要条件是什么？”