分类： 线性代数

一、题目

已知，行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1& 1& 0& 0\\ 0& 2& 2& 0\\ 0& 0& 3& 3\\ 4& 0& 0& 4\end{array}\right|$, 则该行列式第一行元素的代数余子式之和等于多少？

难度评级：

继续阅读“对代数余子式之和的求解可以转换为对行列式的求解”

一、题目

已知，多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{llll}1& 2& 3& x\\ 1& 2& x& 3\\ 1& x& 2& 3\\ x& 1& 2& x\end{array}\right|$ 中, 则 $x^4$ 与 $x^3$ 的系数依次为：

(A) $-1,-1$
(B) $1,-1$
(C) $-1,1$
(D) 1,1

难度评级：

继续阅读“这个四阶行列式千万不要展开求解”

题目 01

若向量组 ${\mathit{\alpha }}_1=(a+1,1,a{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_2=(a,-2,2-a{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_3=(a-1,-3,4-a{)}^{\mathrm{\top }}$ 线性相关, 则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“线性相关的向量组成的行列式一定等于零”

一、题目

已知 $\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right]\mathit{A}=\left[\begin{array}{ll}2& 3\\ 4& 6\end{array}\right]$, 则 $\mathit{A}=?$

难度评级：

继续阅读“当一个矩阵和不可逆矩阵相乘，怎么求解这个未知矩阵？”

一、题目

若 ${\mathit{\alpha }}_1=(1,0,0{)}^{\mathrm{\top }},{\mathit{\alpha }}_2=(1,2,-1{)}^{\mathrm{\top }},{\mathit{\alpha }}_3=(-1,1,0{)}^{\mathrm{\top }}$ 且 $\mathit{A}{\mathit{\alpha }}_1=(2,1{)}^{\mathrm{\top }},A{\mathit{\alpha }}_2=$ $(-1,1{)}^{\mathrm{\top }},\mathit{A}{\mathit{\alpha }}_3=(3,-4{)}^{\mathrm{\top }}$, 则 $\mathit{A}=?$

难度评级：

继续阅读“做这道题不需要事先知道待求解的矩阵是几行几列”

一、题目

已知 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 是三维线性无关列向量，请问：

$|{\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_2+{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_3+{\mathit{\alpha }}_1|\ne 0$ 一定成立吗？

难度评级：

继续阅读“你会拆分这种行列式吗？”

一、题目

已知：

$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}1& -5& 1& 3\\ 1& 1& 3& 4\\ 1& 1& 2& 3\\ 2& 0& 1& 5\end{array}\right|$$

则：

$$A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=?$$

难度评级：

继续阅读“求代数余子式之和通常可以转化为求某行列式的值”

一、题目

已知矩阵 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& a+2\\ 1& a& -2\end{array}\right]$ 和 $\mathit{B}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ -1& a& 1\\ 1& -1& 2\end{array}\right]$ 不等价，则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“解题的时候一定要穷尽所有可能的答案”

一、题目

已知，矩阵 $\mathit{A}$ 满足对任意 $x_1,x_2,x_3$ 均有 $\mathit{A}\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3\\ 2x_1-x_2+x_3\\ x_2-x_3\end{array}\right)$. 请求解以下两个问题：
[1]. 求 $A$;

[2]. 求可逆矩阵 $\mathit{P}$ 与对角矩阵 $\mathbf{\Lambda }$, 使得 ${\mathit{P}}^{-1}\mathit{A}\mathit{P}=\mathbf{\Lambda }$.

难度评级：

继续阅读“这道题中的矩阵虽然很“宽”，但其实是一个单列矩阵”

一、题目

已知 $\mathit{A},\mathit{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $\mathit{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则伴随矩阵 ${\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{E}\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)}^{\ast }=?$

难度评级：

继续阅读“求解分块矩阵的伴随矩阵”

一、前言

口诀全文（版本一）：

主对角线直接逆；
副对角线交换逆；
上下三角副对角线上的不取逆；
上下三角加负号顺时针串联。

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口诀全文（版本二）：

主对角线 AB 逆；
副对角线 BA 逆；
上下三角 C 不逆；
顺时针串联加负号。

继续阅读“分块矩阵求逆法的口诀”

一、题目

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ $=$ ${(x_1+x_2)}^2+{(x_1+x_3)}^2-4{(x_2-x_3)}^2$ 的规范形怎么写？

难度评级：

继续阅读“计算特征值的方法：确保每步都对，坚持计算到底”

一、题目

已知，线性方程组 $Ax=\alpha$ 有解, $\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$ 无解，则下列结论中正确的是哪个？

A. $r(B,\beta )=r(B)+1$

B. $r\left(\begin{array}{ll}A& \alpha \\ B& \beta \end{array}\right)<r\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)+1$

C. $r[B^{\mathrm{\top }}(B,\beta )]>r\left(B^{\mathrm{\top }}B\right)$

D. $r\left[(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})\left(\begin{array}{ll}A& \alpha \\ B& \beta \end{array}\right)\right]=r\left[(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)\right]$

难度评级：

继续阅读“做了这道题，你对分块矩阵性质的理解很可能将会更上一层楼”

一、题目

行列式 $\left|\begin{array}{llll}a& 1& 0& 0\\ b& a& 1& 0\\ 0& b& a& 1\\ 0& 0& b& a\end{array}\right|=?$

难度评级：

继续阅读“这个行列式没有什么计算规律：对于四阶的行列式计算，直接尝试降阶即可”

一、题目

已知，有四阶行列式 $D$ $=$ $\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 4& 0\\ 2& -1& -1& 2\\ 0& -6& 0& 0\\ 2& 4& -1& 2\end{array}\right|$, 则其第四行各元素代数余子式之和，即 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=?$

难度评级：

继续阅读“求解某行元素的代数余子式之和：千万不要傻傻的直接算哦”