一、题目描述
若 $f(x)$ $=$ $\begin{cases} & 1, |x| \leqslant 1, \\ & 0, |x| > 1, \end{cases}$ 则复合函数 $f[f(x)]$ $=$ $?$
继续阅读“每日一题：计算复合函数 $f[f(x)]$”分类： 高等数学
无穷限反常积分的比较审敛法（B007）
问题
已知，在 $x$ $\in$ $[a, +\infty)$ 上，函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 连续，且 $\textcolor{Orange}{0}$ $\textcolor{Orange}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$, 则反常积分 $\textcolor{Orange}{A}$ $\textcolor{Orange}{=}$ $\textcolor{Orange}{\int_{0}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 和 $\textcolor{Orange}{B}$ $\textcolor{Orange}{=}$ $\textcolor{Orange}{\int_{0}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的敛散性之间有什么关系？选项
[A]. $\begin{cases} & A 收敛则 B 收敛 \\ & B 发散则 A 发散 \end{cases}$[B]. $\begin{cases} & B 收敛则 A 收敛 \\ & B 发散则 A 发散 \end{cases}$
[C]. $\begin{cases} & A 收敛则 B 收敛 \\ & A 发散则 B 发散 \end{cases}$
[D]. $\begin{cases} & A 收敛则 B 发散 \\ & B 发散则 A 收敛 \end{cases}$
$$\begin{cases} & \textcolor{Red}{A} 收敛则 \textcolor{Orange}{B} 收敛 \\ & \textcolor{Orange}{B} 发散则 \textcolor{Red}{A} 发散 \end{cases}$$其中：$\textcolor{Red}{A}$ $=$ $\int_{0}^{+\infty}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$ $\mathrm{d} x$, $\textcolor{Orange}{B}$ $=$ $\int_{0}^{+\infty}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$.
$\textcolor{Green}{0}$ $\textcolor{Green}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Green}{\leqslant}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\Rightarrow$ $\textcolor{Green}{0}$ $\textcolor{Green}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{B}$ $\textcolor{Green}{\leqslant}$ $\textcolor{Red}{A}$
反常积分 $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ 的敛散性（B007）
问题
以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{\frac{1}{(x – a)^{p}}}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$（其中 $a$ 为任意常数.）[敛散性] 的选项中，正确的是哪一个？选项
[A]. $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p < 1 \end{cases}$[B]. $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p \leqslant 1 \end{cases}$
[C]. $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p < 1, \\ & 发散, p \geqslant 1 \end{cases}$
[D]. $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \leqslant 1, \\ & 发散, p < 1 \end{cases}$
$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{+\infty}} \frac{\textcolor{Red}{1}}{\textcolor{Red}{(x – a)^{p}}} \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{\Rightarrow}$$ $$\begin{cases} & 收敛, p \textcolor{Red}{<} 1, \\ & 发散, p \textcolor{Red}{\geqslant} 1 \end{cases}$$ 其中，$a$ 为任意常数.
反常积分 $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x \ln^{p} x}$ $\mathrm{d} x$ 的敛散性（B007）
问题
以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{\frac{1}{x \ln^{p} x}}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$（其中 $a$ $>$ $1$）[敛散性] 的选项中，正确的是哪一个？选项
[A]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x \ln^{p} x}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p < 1 \end{cases}$[B]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x \ln^{p} x}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p \leqslant 1 \end{cases}$
[C]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x \ln^{p} x}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p > 1, \\ & 发散, p \leqslant 1 \end{cases}$
[D]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x \ln^{p} x}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \leqslant 1, \\ & 发散, p > 1 \end{cases}$
$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{+\infty}} \frac{\textcolor{Red}{1}}{\textcolor{Red}{x \ln^{p} x}} \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{\Rightarrow}$$ $$\begin{cases} & 收敛, p \textcolor{Red}{>} 1, \\ & 发散, p \textcolor{Red}{\leqslant} 1 \end{cases}$$其中，$a$ $>$ $1$.
反常积分 $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p}}$ $\mathrm{d} x$ 的敛散性（B007）
问题
以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{\frac{1}{x^{p}}}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$（其中 $a$ $>$ $0$）[敛散性] 的选项中，正确的是哪一个？选项
[A]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p < 1 \end{cases}$[B]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p \leqslant 1 \end{cases}$
[C]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p > 1, \\ & 发散, p \leqslant 1 \end{cases}$
[D]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \leqslant 1, \\ & 发散, p > 1 \end{cases}$
$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{+\infty}} \frac{\textcolor{Red}{1}}{\textcolor{Red}{x^{p}}} \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{\Rightarrow}$$ $$\begin{cases} & 收敛, p \textcolor{Red}{>} 1, \\ & 发散, p \textcolor{Red}{\leqslant} 1 \end{cases}$$其中，$a$ $>$ $0$.
中间无界的瑕积分（B007）
问题
已知 $\textcolor{Orange}{c}$ $\textcolor{Orange}{\in}$ $\textcolor{Orange}{[a, b]}$, 若当 $\textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\rightarrow}$ $\textcolor{Orange}{c}$ 的时候，函数 $f(x)$ 无界，则以下关于瑕积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？选项
[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a}^{c – \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\lim_{\mu \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{c + \mu}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{-}}$ $\int_{a}^{c – \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{\mu \rightarrow 0^{-}}$ $\int_{c + \mu}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a}^{c – \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{\mu \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{c + \mu}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a}^{c + \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{\mu \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{c – \mu}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\lim_{\textcolor{Orange}{\xi} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Orange}{0}^{\textcolor{Red}{+}}} \int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{c} \textcolor{Green}{-} \textcolor{Orange}{\xi}} f(x) \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{+}$$ $$\lim_{\textcolor{Orange}{\mu} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Orange}{0}^{\textcolor{Red}{+}}} \int_{\textcolor{Red}{c} \textcolor{Green}{+} \textcolor{Orange}{\mu}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x.$$ 注意：当 $\xi$ $\rightarrow$ $0^{\textcolor{Red}{+}}$ 时，$($ $c$ $-$ $\xi$ $)$ $\rightarrow$ $c^{\textcolor{Red}{-}}$; 当 $\mu$ $\rightarrow$ $0^{\textcolor{Red}{+}}$ 时，$($ $c$ $+$ $\mu$ $)$ $\rightarrow$ $c^{\textcolor{Red}{+}}$
下界无界的瑕积分（B007）
问题
若当 $\textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\rightarrow}$ $\textcolor{Orange}{a^{+}}$ 的时候，函数 $f(x)$ 无界，则以下关于瑕积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？选项
[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a + \xi}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a – \xi}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{-}}$ $\int_{a + \xi}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0}$ $\int_{a + \xi}^{bi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\lim_{\textcolor{Orange}{\xi} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Orange}{0}^{\textcolor{Red}{+}}} \int_{\textcolor{Red}{a} \textcolor{Yellow}{+} \textcolor{Orange}{\xi}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x.$$ 注意：当 $\xi$ $\rightarrow$ $0^{\textcolor{Red}{+}}$ 时，$a$ $+$ $\xi$ $\rightarrow$ $a^{\textcolor{Red}{+}}.$
上界无界的瑕积分（B007）
问题
若当 $\textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\rightarrow}$ $\textcolor{Orange}{b^{-}}$ 的时候，函数 $f(x)$ 无界，则以下关于瑕积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？选项
[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a}^{b – \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a}^{b + \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{-}}$ $\int_{a}^{b – \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0}$ $\int_{a}^{b – \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\lim_{\textcolor{Orange}{\xi} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Orange}{0}^{\textcolor{Red}{+}}} \int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b} \textcolor{Yellow}{-} \textcolor{Orange}{\xi}} f(x) \mathrm{d} x.$$ 注意：当 $\xi$ $\rightarrow$ $0^{\textcolor{Red}{+}}$ 时，$b$ $-$ $\xi$ $\rightarrow$ $b^{\textcolor{Red}{-}}.$
第三类无穷限的反常积分：$\int_{-\infty}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$（B007）
问题
以下关于无穷限的反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{- \infty}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？选项
[A]. $\int_{- \infty}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow – \infty}$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{b \rightarrow + \infty}$ $\int_{c}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$[B]. $\int_{- \infty}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow – \infty}$ $\int_{c}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{b \rightarrow + \infty}$ $\int_{b}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
[C]. $\int_{- \infty}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow – \infty}$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{b \rightarrow + \infty}$ $\int_{b}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
[D]. $\int_{- \infty}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow + \infty}$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{b \rightarrow – \infty}$ $\int_{c}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
$$\int_{\textcolor{Red}{- \infty}}^{\textcolor{Red}{+\infty}} f(x) \mathrm{d} x =$$
$$\int_{\textcolor{Red}{- \infty}}^{\textcolor{Yellow}{c}} f(x) \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{+}$$ $$\int_{\textcolor{Yellow}{c}}^{\textcolor{Red}{+ \infty}} f(x) \mathrm{d} x =$$
$$\lim_{\textcolor{Yellow}{a} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Red}{- \infty}} \int_{\textcolor{Yellow}{a}}^{\textcolor{Yellow}{c}} f(x) \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{+}$$ $$\lim_{\textcolor{Yellow}{b} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Red}{+ \infty}} \int_{\textcolor{Yellow}{c}}^{\textcolor{Yellow}{b}} f(x) \mathrm{d} x.$$
第二类无穷限的反常积分：$\int_{- \infty}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$（B007）
问题
以下关于无穷限的反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{- \infty}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？选项
[A]. $\int_{- \infty}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow – \infty}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$[B]. $\int_{- \infty}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{b \rightarrow – \infty}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$
[C]. $\int_{- \infty}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow – \infty}$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$
[D]. $\int_{- \infty}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow + \infty}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$
$$\int_{\textcolor{Red}{- \infty}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\lim_{\textcolor{Orange}{a} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Orange}{- \infty}} \int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrel{d} x$$
每日一题：计算 $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\frac{(1+\frac{1}{x})^{x^{2}}}{e^{x}}$
一、题目描述
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{(1+\frac{1}{x})^{x^{2}}}{e^{x}} = ?
$$
第一类无穷限的反常积分：$\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$（B007）
问题
以下关于无穷限的反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？选项
[A]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{b \rightarrow \infty}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$[B]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
[C]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow + \infty}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
[D]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{b \rightarrow + \infty}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{+\infty}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\lim_{\textcolor{Orange}{b} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Orange}{+ \infty}} \int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x.$$
反常积分 $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法
一、题目分析
因为对于 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 而言，必须有 $x$ $\neq$ $0$, 于是，在区间 $[-1, 1]$ 内，定积分 $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 其实是一个瑕积分，瑕点就是 $x$ $=$ $0$, 由于在真正进行积分运算的时候，被积函数不能包含瑕点，所以，我们必须在 $x$ $=$ $0$ 处对原积分进行“分割”。
二、示意图像
函数 $y$ $=$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 的示意图像如下：
![反常积分 $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法 | 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2022/08/21/ecb607749afd38b880dac321140265afe20bbadf945dcda7607048c256a5a3e8.svg)
反常积分 $\int_{0}^{\infty}$ $\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法
一、题目分析
直接来看，这是一个上限趋于无穷的的反常积分，但其实，由于被积函数中的 $\sqrt{x}$ 必须有 $x$ $>$ $0$, 因此，该反常积分的下限也需要通过取极限的方式才能在计算中使用：
我们可以引入两个变量 $s$ 和 $t$, 并使 $s$ $\rightarrow$ $0^{+}$, $t$ $\rightarrow$ $\infty$, 以此来代替该反常积分原来的上限和下限。
同时，由于 $1$ 具有 $1^{2}$ $=$ $1$ 等特殊性质，因此，我们将 $1$ 作为分割区间 $[0, \infty]$ 的一个中间点。
继续阅读“反常积分 $\int_{0}^{\infty}$ $\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法”定积分的特殊分部积分公式（B007）
问题
若函数 $\textcolor{Orange}{u(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且具有导函数 $\textcolor{Orange}{u ^{\prime}(x)}$, 则以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{u(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？选项
[A]. $\int_{a}^{b}$ $u(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $x$ $u(x)$ $|_{a}^{b}$ $+$ $\int_{a}^{b}$ $x ^{\prime}$ $u (x)$ $\mathrm{d} x$[B]. $\int_{a}^{b}$ $u(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $x$ $u(x)$ $|_{a}^{b}$ $+$ $\int_{a}^{b}$ $x$ $u ^{\prime} (x)$ $\mathrm{d} x$
[C]. $\int_{a}^{b}$ $u(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $x$ $u(x)$ $|_{a}^{b}$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $x$ $u (x)$ $\mathrm{d} x$
[D]. $\int_{a}^{b}$ $u(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $x$ $u(x)$ $|_{a}^{b}$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $x$ $u ^{\prime} (x)$ $\mathrm{d} x$
$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} \textcolor{Red}{u}(x) \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} \textcolor{Red}{u}(x) \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{x} ^{\textcolor{Yellow}{\prime}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{x} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{u}(x) \Bigg|_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}}$$ $$\textcolor{Green}{-}$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} \textcolor{Red}{x} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{u} ^{\textcolor{Yellow}{\prime}} (x) \mathrm{d} x.$$