高等数学 – 第 53 页

一、前言

首先，我们要明确，使得 $\arcsin (\sin x)$ $=$ $x$ 成立是有前提条件的，这个前提条件就是：

$$
x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})
$$

下面我们就详细讨论一下为什么会这样。

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计算累次积分的核心：分离两个变量，在两个不同的积分中分别计算

一、题目

$$
\int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\frac{1}{x}}^{2} y \mathrm{e}^{x y} \mathrm{~d} y = ?
$$

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一、题目

$\int_{-\infty}^{+\infty} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{|x|} \mathrm{~ d} x$ 的敛散性如何？

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一、题目

曲线 $y=x^{2} \sin x$ $(0 \leqslant x \leqslant 2 \pi)$ 与 $X$ 轴所围成区域的面积 $S$ 的表达式是什么？

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一、题目

已知 $a$ 与 $b$ 是两个常数, 且 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}$ $\mathrm{e}^{x}\left(\int_{0}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+a\right)$ $=$ $b$, 则

$$
\begin{cases}
& a = ? \\
& b = ?
\end{cases}
$$

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一、前言

$$
\int_{0}^{+ \infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = ?
$$

$$
\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = ?
$$

$$
\int_{- \infty}^{0} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = ?
$$

Tips:

关于考研数学中涉及 $e^{x}$ 的一些计算技巧，可以查看《考研数学解题思路积累：和 $e^{x}$ 有关的那些式子》这篇文章。

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一、题目

已知 $f(x)=1-\cos x$, 则：

$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})(1-\sqrt[4]{\cos x})(1-\sqrt[5]{\cos x})}{f\{ f[f(x)] \}}=?
$$

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一、前言

你知道当 $x \rightarrow 0$ 时，以下式子的等价无穷小是多少吗？

$$
1 – \sqrt{\cos x} = ?
$$

$$
1 – \sqrt[3]{\cos x} = ?
$$

$$
1 – \sqrt[5]{\cos x} = ?
$$

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一、前言

本文着重总结了解决高等数学题目中 $\frac{0}{0}$ 型极限的 3 种方法，以及相关的解析和例题。

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一、题目

已知 $f(x)$ 可导, $f(0)=0$, $f^{\prime}(0)=2$, $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} t^{2} f\left(x^{3}-t^{3}\right) \mathrm{d} t$, $g(x)=\frac{x^{7}}{5}$ $+$ $\frac{x^{6}}{6}$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $F(x)$ 是 $g(x)$ 的等价无穷小吗？

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一般规律：大于 1 时越乘越大，小于 1 时越乘越小

一、题目

已知正数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{a_{n}} x^{n} \mathrm{~d} x$ $=$ $2$, 则 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ $=$ $?$

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