分类： 高等数学

前言

在计算积分的时候，有时会需要使用三角函数代换（三角代换）的方式去掉二次根号。本文将给出一种扩展之后的三角函数代换公式，能够适用于更多的需要使用三角函数代换的计算场景，以作参考。

继续阅读“[高数]扩展后的三角函数代换公式”

前言

在解题过程中，注意使用【变量的对称性】所隐含的性质可以提高解题速度。本文将对此进行一个说明，以作参考。

继续阅读“[高数]使用变量的对称性快速写出有关结论”

前言

本文记录了关于拆分 $\sqrt{ab}$ 和 $\sqrt{\frac{a}{b}}$ 的两个小结论，以作参考。

继续阅读“[高数]关于拆分根号的两个小结论”

前言

在对有理函数进行积分的时候，我们常常需要对 $ax^{2} + bx + c$ 形式的方程进行拆分，以便将其写成部分和的形式或者做其他变形以计算积分。当 $ax^{2} + bx + c$ 是一个有理方程的时候，例如当其的两个实数解分别是 $x_{1} = aa$ 和 $x_{2} = bb$ 的时候，我们可以把 $ax^{2} + bx + c$ 写成 $(x-aa)(x-bb)$ 的形式，之后再利用如下式子求出 $A$ 和 $B$ 就完成对原有理函数 $\frac{cx + d}{ax^{2} + bx + c}$ 的拆分：

$$
\frac{A}{(x-aa)} + \frac{B}{(x-bb)} = \frac{cx + d}{ax^{2} + bx + c}
$$

注意：上式中的 $A$ 和 $B$ 可以包含未知数，只要能使上式成立即可，不一定都是常数。

但是，上述方法在应对分母是无理方程的有理函数积分时就失效了，因为无理方程没有实数解，无法拆分成 $(x-aa)(x-bb)$ 的形式。

其实，无理方程中一般都是“包含着”有理方程的，如果我们能把其中的有理方程“提取”出来，同样可以完成对这类包含无理方程的有理函数的积分。

本文将通过一个例子对此进行分析，以作参考。

注意：本文中提到的“有理方程”和“无理方程”都是【一元二次方程】。

继续阅读“[高数]举例说明如何从无理方程中分解出有理方程”

前言

考研数学题中有时会需要计算三次方程的解，这时候，我们可以先将三次方程【分解】成更低阶的一次方程和二次方程的乘积，之后利用相关公式计算。本文将通过一个例子展示这种求解方法，以作参考。

继续阅读“[高数]举例说明特殊情况下如何计算三次方程的解”

前言

本文要讨论的是：极限环境下 “$0$ 正” 除以 “$0$ 负” 等于多少?

也就是讨论：

$$
\lim \frac{0^{+}}{0^{-}} = ?
$$

继续阅读“[高数]极限环境下 “0 正” 除以 “0 负” 等于多少?”

一、前言

无穷大 $(\infty)$ 与正无穷大 $(+ \infty)$ 和负无穷大 $(- \infty)$ 之间的关系可能会让人感到困惑进而影响高数题目的求解。本文将对此做一个分析说明，以作参考。

继续阅读“关于 $\infty$、$+\infty$、$- \infty$ 和无穷小之间关系的分析”

前言

本文将通过一种形象化的方法阐述对二重积分中值定理的理解，以帮助记忆和运用该定理。

继续阅读“[高数]形象化理解二重积分中值定理”

前言

要确定一个函数的间断点首先就要判断出这个函数有哪些可能是间断点的可疑点。本文将对此作一个总结，以作参考。

继续阅读“[高数]函数间断点的可疑点有哪些”

前言

在解题的过程中，把某些变量，例如 “$x$” 看作常数可以方便对题目的理解并提升解题效率。本文将简要探讨哪些情况下可以把哪个或哪些变量看作常数进行处理，以作参考。

继续阅读“[高数]什么情况下可以把 $x$ 看作常数”

一、前言

在考研数学中，一般涉及到变限积分的题目都会需要对变限积分进行求导运算。本文将总结几种形式的变限积分求导过程。

继续阅读“[高数]有关变限积分求导的几种形式”

前言

要理解为什么 $(\ln |x|)^{\prime}=\frac{1}{x}$, 只需要知道：

在求导时，只要涉及的自变量不是 $x$ 这样的【单一的自变量】，就需要考虑使用【复合函数求导】的公式。

继续阅读“为什么 $(\ln |x|)^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{x}$ ?”