分类： 高等数学

题目

已知函数 $f(x) = \left\{\begin{matrix}
x^{2x}, x > 0\\
xe^{x} + 1, x \leqslant 0,
\end{matrix}\right.$ 求 $f^{‘}(x)$, 并求 $f(x)$ 的极值.

继续阅读“2019年考研数二第15题解析：复合函数求导、分段函数、极值、极限”

题目

设数列 ${ x_{n} }$ 满足：$x_{1} > 0$, $x_{n} e^{x_{n+1}} = e^{x_{n}} – 1$ $(n = 1, 2, 3, \cdots)$. 证明 ${ x_{n} }$ 收敛，并求 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$.

继续阅读“2018年考研数二第21题解析：数列极限、数学归纳法、拉格朗日中值定理”

题目

已知曲线 $L: y = \frac{4}{9} x^{2}$ $(x \geqslant 0)$, 点 $O(0, 0)$, 点 $A(0, 1)$. 设 $P$ 是 $L$ 上的动点, $S$ 是直线 $OA$ 与直线 $AP$ 及曲线 $L$ 所围图形的面积. 若 $P$ 运动到点 $(3, 4)$ 时沿 $x$ 轴正向的速度是 $4$, 求此时 $S$ 关于时间 $t$ 的变化率.

继续阅读“2018年考研数二第20题解析：积分、微分、直线方程”

题目

将长为 $2 \mathrm{m}$ 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形. 三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.

继续阅读“2018年考研数二第19题解析：条件极值、拉格朗日乘数法”

题目

已知常数 $k \geqslant \ln 2 – 1$. 证明：$(x-1)(x – \ln^{2} x + 2k \ln x – 1) \geqslant 0$

继续阅读“2018年考研数二第18题解析：导数、单调性”

题目

设平面区域 $D$ 由曲线 $\left\{\begin{matrix}
x = t – \sin t;\\
y = 1 – \cos t
\end{matrix}\right.$ $(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 与 $x$ 轴围成，计算二重积分 $\iint_{D} (x + 2y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$.

继续阅读“2018年考研数二第17题解析：摆线、二重积分转二次积分、三角函数”

题目

已知连续函数 $f(x)$ 满足：

$$
\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t + \int_{0}^{x} t f(x – t) \mathrm{d} t = ax^{2}.
$$

$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$

$(Ⅱ)$ 若 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上的平均值为 $1$, 求 $a$ 的值.

继续阅读“2018年考研数二第16题解析：变上限积分、一阶线性微分方程、积分中值定理”

题目

求不定积分：

$$
\int e^{2x} \arctan \sqrt{e^{x} – 1} \mathrm{d} x.
$$

继续阅读“2018年考研数二第15题解析：分部积分法、求导”

题目

设 $y(x)$ 是区间 $(0, \frac{3}{2})$ 内的可导函数，且 $y(1) = 0$. 点 $P$ 是曲线 $l: y = y(x)$ 上的任意一点，$l$ 在点 $P$ 处的切线与 $y$ 轴相交于点 $(0, Y_{p})$, 法线与 $x$ 轴交于点 $(X_{p}, 0)$. 若 $X_{p} = Y_{p}$, 求 $l$ 上点的坐标 $(x, y)$ 满足的方程。

继续阅读“2017年考研数二第21题解析：不定积分、分离变量、直线方程”

题目

已知平面区域 $D =$ ${(x, y)|x^{2} + y^{2} \leqslant 2y }$, 计算二重积分 $\iint_{D} (x + 1)^{2} \mathrm{d} x \mathrm{d} y$.

继续阅读“2017年考研数二第20题解析：二重积分、二重积分的化简、直角坐标系转极坐标系”

题目

设函数 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1) > 0$, $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x} < 0$. 证明：

$(Ⅰ)$ 方程 $f(x) = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少存在一个实根；

$(Ⅱ)$ 方程 $f(x) f^{”}(x) +$ $[f^{‘}(x)]^{2} = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少存在两个不同实根.

继续阅读“2017年考研数二第19题解析：极限、导数、罗尔定理”

题目

求：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum _{k = 1}^{n} \frac{k}{n^{2}} \ln (1 + \frac{k}{n}).
$$

继续阅读“2017年考研数二第17题解析：利用定积分的定义将极限求和转定积分”

题目

已知函数 $y(x)$ 由方程 $x^{3} + y^{3} – 3x + 3y – 2 = 0$ 确定，求 $y(x)$ 的极值.

继续阅读“2017年考研数二第18题解析：导数、函数极值、单调性”

题目

设函数 $f(u,v)$ 具有二阶连续偏导数，$y =$ $f(e^{x}, \cos x)$, 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}|_{x = 0}$, $\frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}|_{x = 0}$.

继续阅读“2017年考研数二第16题解析：二阶偏导数、复合函数求导”