在做一些涉及极限的求和题目时，我们会发现，有些解法就是通过将求和转为积分的方式完成的求解。
那么，为什么极限场景下的求和一般可以表示为积分呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」通过将积分的物理意义从有向的几何量（面积、体积）或者物理意义，更改为“有向权重”的方式，探讨一种更接近积分与求和所蕴含的本质的理解方式，从而理清楚积分与求和之间的关系。
继续阅读“为什么极限场景下的求和一般可以表示为积分？”这里的“有向”是指存在“正”和“负”两种值。与传统上对积分有向面积或者有向体积的定义一样，本文中也将位于二维坐标水平轴或者三维坐标水平面上方的“有向权重”定义为“正”，下方的“有向权重”则定义为“负”——当然，“有向”并不是本文讨论的重点，也不是本文所提出的“权重”的必须性质，所以，在本文中接下来阐述“有向权重”的时候，会侧重于讨论“权重”本身。
用求和符号 $\sum$ 表示的求和运算是一种非常基本运算形式。在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过地铁线路的方式，为同学们形象地解释单重求和与双重求和的计算思路。
继续阅读“用地铁线路理解单重求和与双重求和的计算”凑微分的目的就是将积分 $\int \Phi(x) \mathrm{~d} x$ 改写成 $\int f(\phi(x)) \mathrm{~d} \phi(x)$ 的形式，即：
$$
\int \textcolor{orange}{\Phi(x)} \mathrm{~d} x = \int f(\textcolor{lightgreen}{\phi(x)}) \mathrm{~d} \textcolor{lightgreen}{\phi(x)}
$$
经过上述变换，就可以将积分变量从 $x$ 拓展成更复杂的 $\phi(x)$, 从而可以在大多数时候达到简化被积函数的作用。
在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们汇总了考研数学（高等数学）解题过程中常用的凑微分公式。
继续阅读“常用的凑微分公式汇总”
已知函数 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上具有 $2$ 阶导数，且 $f(0) = 0$, $f(1) = 1$, $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x = 1$, 证明：
(I) 存在 $\xi \in (0, 1)$, 使得 $f^{\prime}(\xi) = 0$;
(Ⅱ) 存在 $\eta \in (0, 1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\eta) < -2$.
难度评级：
继续阅读“2019年考研数二第21题解析：拉格朗日中值定理、罗尔定理、费马引理、积分的几何意义、反证法（5种解法+18幅图）”已知函数 $f \left( u, v \right)$ 满足 $f \left( x + y, \frac{y}{x} \right) = x^{2} – y^{2}$，则：
$$
\begin{aligned}
& \left. \frac{\partial f}{\partial u} \right|_{\substack{u=1 \\ v=1}} = ? \\ \\
& \left. \frac{\partial f}{\partial v} \right|_{\substack{u=1 \\ v=1}} = ?
\end{aligned}
$$
难度评级：
继续阅读“求复合函数偏导数的两种方式：先求导再代换、先代换再求导”$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1 – x-\frac{x}{2} \sin x}{\sin x – x \cos x}
$$
如图 01 所示，$X$ 轴上有一个线密度为常数 $\mu$, 长度为 $l$ 的细杆 $\bar{L}$，若质量为 $m$ 的质点 $\dot{M}$ 到细杆右端的距离为 $a$, 且引力系数为 $k$, 则质点 $\dot{M}$ 和细杆 $\bar{L}$ 之间引力的大小 $F$ 可表示为什么？
判断下面反常积分的敛散性：
$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \int_{− \infty}^{0} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x \\ \\
I_{2} & = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm {e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$
在「荒原之梦考研数学」的《田字格分段函数融合法》这篇文章中，我们初步掌握了基于“田字格”这一工具确定涉及分段函数的计算时应该分几段考虑的问题。
在本文中，我将继续拓展“田字格”这一工具，在自变量含有绝对值运算的题目中，给同学们讲解一下如何使用“田字格”确定应该分几段计算含有分段函数的相关问题。
继续阅读“峰式田字格：确定变量含有绝对值的分段函数的复合运算要分几段计算”$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{2} \left(1 + \frac{2}{n} \right)^{2} \cdots \left(1 + \frac{n}{n} \right)^{2}} \\ \\
I_{2} & = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{2} \left(1 + \frac{2}{n} \right)^{2} \cdots \left(1 + \frac{n}{n} \right)^{2} \cdots \textcolor{orange}{ \left(1 + \frac{2n}{n} \right)^{2} } } \\ \\
\end{aligned}
$$
使不等式 $\int _ { 1 } ^ { x } \frac { \sin t } { t } \mathrm { ~ d } t > \ln x$ 成立的 $x$ 的取值范围是多少？
函数 $f(x)$ $=$ $\ln|(x-1)(x-2)(x-3)|$ 有多少个驻点？
»A« $3$.
»B« $2$.
»C« $1$.
»D« $0$.
