分类： 高等数学

一、题目

已知 $y(x)$ $=$ $x^{x^{x}}$, 则：

$$
y^{\prime}(x) = ?
$$

难度评级：

继续阅读“给对数函数的变量“摘指数”的时候要注意指数的“作用范围””

一、题目

已知 $y(x)$ $=$ $\sin^{3} x$ $+$ $\sin x \cos x$, 则：

$$
y^{(n)} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“求三角函数的 $n$ 阶导：先降幂”

一、前言

三角函数的二倍角公式（$\sin 2x$, $\cos 2x$, $\tan 2x$, $\cot 2x$）很常用，三角函数的三倍角公式在求解一些题目的时候，也是一个非常有用的工具。在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们整理出一份常用的三角函数三倍角公式。

继续阅读“三角函数的三倍角公式”

一、题目

请证明下面这个数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 的极限存在，并求解其极限：

$$
\sqrt{2}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2}}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \quad \cdots
$$

难度评级：

继续阅读“平方运算不会改变大于或等于 $0$ 的数字间的大小关系”

一、题目

$$
K_{m} = \int_{0}^{\pi} x \sin ^{m} x \mathrm{~d} x = ?
$$

其中，$m$ 为自然数。

难度评级：

继续阅读“升级版的点火公式”

一、题目

$$
I = \int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x \sqrt{x-1}} \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“对式子的等价转换除了有先加后减，还有先开方再平方”

一、题目

求下面函数的 $n$ 阶导数：

$$
\begin{aligned}
y_{1} & = \sin x \\
y_{2} & = \cos x \\
y_{3} & = \frac{1}{x + 1} \\
y_{4} & = \frac{-1}{x}
\end{aligned}
$$

难度评级：

继续阅读“用归纳法求函数的 $n$ 阶导数（附 $\sin$ 与 $\cos$ 的 $n$ 阶导公式）”

一、题目

继续阅读“被积函数有 4 次幂的时候，先尝试凑 2 次幂”

一、题目

已知 $f(x,y,z)$ $=$ $\left( \frac{x}{y} \right)^{\frac{1}{z}}$, 则：

$$
\mathrm{d} f(1,1,1) = ?
$$

难度评级：

继续阅读“三元函数全微分的计算：比二元多一元”

题目二：三个变量的二元函数

设 $u$ $=$ $f \left( x+y+z, x^{2} + y^{2} + z^{2} \right)$, 求 $\frac{\partial^{2} u }{\partial x^{2}}$, $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$, $\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$.

其中，$f$ 具有二阶连续偏导数。

难度评级：

解析二

首先，求解一阶偏导数：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial u}{\partial x} & = f_{1}^{\prime} + 2x f_{2}^{\prime} \\ \\
\frac{\partial u}{\partial y} & = f_{1}^{\prime} + 2y f_{2}^{\prime}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2} } \\ \\
= & \ \frac{\partial u}{\partial x} \left( f_{1}^{\prime} + 2x f_{2}^{\prime} \right) \\ \\
= & \ f_{11}^{\prime \prime} + 2x f_{12}^{\prime \prime} + 2 f_{2}^{\prime} + 2x \left( f_{21}^{\prime \prime} + 2x f_{22}^{ \prime \prime } \right) \\ \\
= & \ \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ f_{11}^{\prime \prime} + 4x f_{12}^{\prime \prime} + 2 f_{2}^{\prime} + 4x^{2} f_{22}^{\prime \prime} }}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial^{2} u }{\partial x \partial y} \\ \\
= & \ \frac{\partial u}{\partial y} \left( f_{1}^{\prime} + 2y f_{2}^{\prime} \right) \\ \\
= & \ f_{11}^{\prime \prime} + 2y f_{12}^{\prime \prime} + 2x \left( f_{21}^{\prime \prime} + 2y f_{22}^{\prime \prime} \right) \\ \\
= & \ \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ f_{11}^{\prime \prime} + 2 (x+y) f_{12}^{\prime \prime} + 4x y f_{22}^{\prime \prime} }}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \\ \\
= & \ \frac{\partial u}{\partial y} \left( f_{1}^{\prime} + 2y f_{2}^{\prime} \right) \\ \\
= & \ f_{11}^{\prime \prime} + 2y f_{12}^{\prime \prime} + 2 f_{2}^{\prime} + 2y \left( f_{21}^{\prime \prime} + 2y f_{22}^{\prime \prime} \right) \\ \\
= & \ \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ f_{11}^{\prime \prime} + 4y f_{12}^{\prime \prime} + 2 f_{2}^{\prime} + 4y^{2} f_{22}^{\prime \prime} }}
\end{aligned}
$$

---

一、题目

$$
\begin{aligned}
I_{1} = & \ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x + 1} \right)^{2x + \textcolor{orangered}{2}} = ? \\ \\
I_{2} = & \ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{2x + \textcolor{orangered}{1}} = ?
\end{aligned}
$$

难度评级：

继续阅读“在无穷大条件下，幂指函数的“幂”增减一个常数不会影响最终的结果”

一、题目

$$
I = \int \frac{1}{x \ln x \ln \ln x} \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“拨开云雾，直抵核心：不要被这个积分中的三个 “$\ln$” 函数迷惑了”

一、题目

请证明下面的定积分的性质：

$$
\begin{aligned}
\int_{a}^{b} 1 \mathrm{~d} x = & \ b – a \\
\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{~d} x = & \ k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

难度评级：

继续阅读“用定积分的定义证明两个定积分的常用性质”

一、题目

定积分的定义是考研数学中经常考察的一个内容。但是，在真正的考试题中，我们能遇到的要使用定积分的定义求解的题目，一般是不能用一般的积分公式计算的，这样的题目不利于我们从更多的角度把握用定积分的定义解题这一方法的全貌。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」将利用定积分的定义，给同学们演示对下面这两个比较简单的定积分进行求解的过程：

$$
\begin{aligned}
I_{1} = & \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x \\ \\
I_{2} = & \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

难度评级：

继续阅读“利用定积分的定义计算两个简单的定积分”

一、前言

求和符号是我们在考研数学中很常见到的一个符号，常见的求和符号写法如下：

$$
\sum_{i=1}^{n=16}
$$

或者：

$$
\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}
$$

那么，我们应该怎么理解上面这个求和符号呢？以及该怎么让求和符合参与到具体的计算中呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解一下这个问题。

继续阅读“求和符号中的 $i$ 和 $n$ 有啥区别？”