高等数学归档 - 第11页共122页

题目 01

$I$ $=$ $lim_{x \to 0} \frac{(1 - \sqrt{\cos x}) (3^{2 x} - 1)}{\tan (\sin x) \ln (\cos 2 x)}$ $=$ $?$

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一、题目

已知 $g (x)$ $=$ ${\begin{cases} 2 - x, & x ⩽ 0 \\ 2 + x, & x > 0 \end{cases}$ , $f (x)$ $=$ ${\begin{cases} x^{2}, & x < 0 \\ - x, & x ⩾ 0 \end{cases}$ , 则：

$lim_{x \to 0} g [f (x)] = ?$

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一、前言

下面这两个式子有什么区别：

$[f^{'} (- x)]$

$[f (- x)]^{'}$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将带你一探究竟！

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当不知道抽象函数在某点处的可导性时，只能用一点处导数的定义求解该函数在指定点处的导数值

一、题目

设 $f (x)$ $=$ $(x^{2025} - 1) g (x)$ , 其中 $g (x)$ 在 $x$ $=$ $1$ 处连续，且 $g (1)$ $=$ $1$ , 则 $f^{'} (1)$ $=$ $?$

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一、题目

设 $y$ $=$ $y (x)$ 由 ${\begin{cases} x = \int_{0}^{t} 2 e^{- u^{2}} d u \\ y = \int_{0}^{t} \sin (t - u) d u \end{cases}$ 确定，则 $y$ $=$ $y (x)$ 在 $t$ $=$ $0$ 对应点处的曲率是多少？

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一、题目

已知，区域 $D$ $=$ ${(x, y) ∣ (x - 2)^{2} + y^{2} ⩽ 1}$ , 则 $D$ 绕 $Y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积是多少？

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一、题目

已知，函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内有二阶连续导数, 函数 $u (x, y)$ 的全微分为 $d u$ $=$ $y [e^{x} +$ $f^{'} (x)] d x$ $+$ $f^{'} (x) d y$ , 且 $f (0)$ $=$ $f^{'} (0)$ $=$ $1$ .

(I) 求 $f (x)$ ;

(II) 求 $f (x)$ 的单调区间与极值.

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在实际的考试中，我们没必要把矩阵化简得这么“彻底”再去求未知数

一、题目

已知，向量组 $α_{1} = (1, 1, a)^{T}$ , $α_{2} = (1, - 2, b)^{T}$ , $α_{3} = (- 2, 1, c)^{T}$ 的秩为 $a$ , 若 $β = (1, 2, 0)^{⊤}$ 可由 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $α_{3}$ 线性表示，且表示法不唯一, 则 ${\begin{cases} a = ? \\ b = ? \end{cases}$

A. $a = 2$ , $b = 8$ , $c = 10$

B. $a = 2$ , $b = 8$ , $c = - 10$

C. $a = 1$ , $b = - 8$ , $c = 10$

D. $a = 1$ , $b = - 8$ , $c = - 10$

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对题目的等价转化往往就是解题的突破口

一、题目

若方程 $\tan x = a x$ 在 $(0, \frac{π}{4})$ 内有实根，则常数 $a$ 的取值范围是多少？

(A). $0 < a < \frac{4}{π}$

(B). $1 < a < \frac{π}{4}$

(C). $1 < a < \frac{4}{π}$

(D). $0 < a < \frac{π}{4}$

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一点处连续与存在的区别：连续性要考虑“邻居”，存在性只需要考虑“自己”

一、题目

已知，函数 $f (x)$ $=$ $\ln (1 + x^{\frac{2}{3}})$ $-$ $x^{\frac{2}{3}}$ , 则下面说法正确的是哪一个？

(A). $f^{'} (0)$ 不存在, $f^{''} (0)$ 不存在

(B). $f^{'} (0)$ 存在, $f^{''} (0)$ 存在

(C). $f^{'} (0)$ 存在, $f^{''} (0)$ 不存在

(D). $f^{'} (x)$ 在 $x = 0$ 处不连续

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解题的突破口一般就是尝试增加式子的一致性，降低式子的复杂度

一、题目

请问， $x \to 0$ 时, $f (x)$ $=$ $3 x$ $-$ $4 \sin x$ $+$ $\sin x \cos x$ 是关于 $x$ 的多少阶无穷小？

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遇到这样的式子，且题目中提到了导数的话，一定要考虑能否用一点处导数的定义公式

一、题目

已知 $F (x)$ $=$ ${\begin{cases} \frac{f (x)}{x}, & x \neq 0, f (0), & x = 0, \end{cases}$ 其中 $f (x)$ 在 $x$ $=$ $0$ 处可导. 且 $f^{'} (0)$ $\neq$ $0$ , $f (0)$ $=$ $0$ , 则 ( )

(A). $x$ $=$ $0$ 是 $F (x)$ 的连续点

(B). $x$ $=$ $0$ 是 $F (x)$ 的第一类间断点

(C). $x$ $=$ $0$ 是 $F (x)$ 的第二类间断点

(D). 以上说法都不对

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微分方程和洛必达运算的结合

一、题目

已知 $y$ $=$ $y (x)$ 是方程 $y^{''}$ $+$ $2 y^{'}$ $+$ $y$ $=$ $e^{3 x}$ 的解, 且满足 $y (0)$ $=$ $y^{'} (0)$ $=$ $0$ .

则当 $x \to 0$ 时, 与 $y (x)$ 为等价无穷小的是 ( )

(A). $\sin x^{2}$

(B). $\sin x$

(C). $\ln \sqrt{1 + x^{2}}$

(D). $\ln (1 + x^{2})$

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2024年考研数二第21题解析：证明绝对值式子小于XX，需要“两头围堵”

一、题目

设函数 $f (x)$ 具有 2 阶导数, 且 $f^{'} (0)$ $=$ $f^{'} (1)$ , $| f^{''} (x) | \leq 1$ , 证明:

(1) 当 $x \in (0, 1)$ 时, $| f (x) - f (0) (1 - x) - f (1) x |$ $\leq$ $\frac{x (1 - x)}{2}$ ;

(2) $| \int_{0}^{1} f (x) d x - \frac{f (0) + f (1)}{2} |$ $\leq$ $\frac{1}{12}$ .

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页码： 123

阶数越高的无穷小越小，阶数越大的无穷大越大

一、题目

已知，当 $x \to 0$ 时：

$\begin{aligned} α (x) & = \tan x - \sin x \\ β (x) & = \sqrt{1 + x^{2}} - \sqrt{1 - x^{2}} \\ γ (x) & = \int_{0}^{1 - \cos x} \sin t d t \end{aligned}$

都是无穷小，将它们关于 $x$ 的阶数从低到高排列，正确的顺序为（）

(A). $α (x)$ , $β (x)$ , $γ (x)$

(B). $α (x)$ , $γ (x)$ , $β (x)$

(C). $β (x)$ , $α (x)$ , $γ (x)$

(D). $γ (x)$ , $α (x)$ , $β (x)$

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分类：高等数学

用乘除法连接的等价无穷小可以采取“逐个击破”的方式计算

题目 01

函数二变一：这样的函数复合运算的题目你一定要会哦

一、题目

求导符号的位置变了，含义很可能也就变了

一、前言

当不知道抽象函数在某点处的可导性时，只能用一点处导数的定义求解该函数在指定点处的导数值

一、题目

你能看出来这个变限积分无法直接求导吗？

一、题目

这个旋转体是个“甜甜圈”！你会求这个甜甜圈的体积吗？

一、题目

混合偏导数与次序无关的前提是：混合偏导数连续

一、题目

在实际的考试中，我们没必要把矩阵化简得这么“彻底”再去求未知数

一、题目

对题目的等价转化往往就是解题的突破口

一、题目

一点处连续与存在的区别：连续性要考虑“邻居”，存在性只需要考虑“自己”

一、题目

解题的突破口一般就是尝试增加式子的一致性，降低式子的复杂度

一、题目

遇到这样的式子，且题目中提到了导数的话，一定要考虑能否用一点处导数的定义公式

一、题目

微分方程和洛必达运算的结合

一、题目

2024年考研数二第21题解析：证明绝对值式子小于XX，需要“两头围堵”

一、题目

阶数越高的无穷小越小，阶数越大的无穷大越大

一、题目