高等数学归档 - 第10页共122页

做变限积分题的时候一定要摆脱思维定势

一、题目

已知，函数 $f (x)$ 连续， $f (0)$ $=$ $0$ , $f^{'} (0)$ $=$ $0$ , $f^{''} (0)$ $\neq$ $0$ , 则：

$I = lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} t f (x - t) d t}{x \int_{0}^{x} f (x - t) d t} = ?$

Note

关于思维定势的分析，可以查阅荒原之梦考研数学的原创文章：《思维定势：让我们既爱又恨》
zhaokaifeng.com

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看似高深的题目，用的也是最朴素的基本方法

一、题目

已知，函数 $f (x)$ 是周期为 $2$ 的连续函数。请证明：

方程 $f (x)$ $-$ $f (x - 1)$ $=$ $0$ 在任意一个长度为 $1$ 的闭区间 $[a, a + 1]$ 上都至少有一个实根。

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这道题该提取 x 还是 -x 呢？

一、题目

$I = lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + x + 1} + x + 1}{\sqrt{x^{2} + \sin x}} = ?$

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如果用夹逼定理没思路，可以先展开求和符号

一、题目

已知 $u_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + i}}$ , 则：

$lim_{n \to \infty} u_{n} = ?$

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减法运算中常用的等价无穷小公式汇总

一、前言

我们知道，涉及无穷小量的除法运算可以用洛必达等方法辅助解决，涉及无穷小量的乘法运算也有很多辅助解决的方法，但由于加减运算没有乘除运算对无穷量的作用力度强，所以，有时候我们突然遇到无穷小量之间的的减法运算（如果是加法运算可以转换为减法运算）时，可能会觉得无从下手。

其实，减法运算也有很多等价无穷小的运算公式，荒原之梦考研数学在这里给同学们做一个汇总。

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有些表述看上去像是定义的一个特例，其实确实定义的等价表述

一、题目

“对任意的 $ε \in (0, 2)$ , 总存在正整数 $N$ , 当 $n ⩾ N$ 时，恒有 $| x_{n} - a |$ $⩽ 3$ $ε$ ” 是数列 ${x_{n}}$ 收敛于 $a$ 的什么条件？

(A)充分非必要条件

(B)必要非充分条件

(C)充分必要条件

(D)非充分非必要条件

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求导不会改变函数周期，但如果自变量变了那就不一定了

一、题目

已知函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, + \infty)$ 内可导，且是以 $T$ 为周期的周期函数，则函数 $f^{'} (a x + b)$ （其中 $a \neq 0$ , 且 $a$ , $b$ 为常数）的周期是多少？

(A) $T$

(B) $T - b$

(D) $T / a$

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有些无穷小虽然是无穷小，但却不能用无穷小的相关公式

一、题目

$\begin{aligned} I = \\ lim_{x \to 0} \frac{\cos 2 x - \cos x}{x^{2}} \\ = ? \end{aligned}$

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用简化公式快速记住三角函数的和差化积与积化和差公式（荒原之梦考研数学原创）

一、前言

由于不经常使用，三角函数的和差化积和积化和差公式是我们在考研数学的复习过程中很容易忽略的一个知识点。

虽然大部分题目不使用和差化积和积化和差公式也能做出来，但掌握这些公式，对于开拓我们的解题思路，甚至在必要的时候用来“救急”都是很有必要的。

同时，在本文中，荒原之梦考研数学还会给大家提供一个原创的记忆这些公式的方法，帮助大家更高效的记忆和掌握这些公式。

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无穷小乘以无穷小一定会产生更高阶的无穷小

一、题目

已知，当 $x \to x_{0}$ 时, $f (x)$ 与 $g (x)$ 均为 $(x - x_{0})$ 的同阶无穷小, 则下列说法正确的是哪一个？

(A) $f (x)$ $-$ $g (x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_{0}$ 的同阶无穷小

(B) $f (x)$ $-$ $g (x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_{0}$ 的高阶无穷小

(D) $f (x) \cdot g (x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_{0}$ 的高阶无穷小

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【乘除】运算可以看作是【加减】运算的“高量级进化体”

一、前言

在考研数学中，我们常常会遇到涉及无穷小或者无穷大等无穷量的运算，在这些运算中，加减法和乘除法对无穷小量或者无穷大量的影响效果是怎样的呢？哪些运算可以改变无穷小量或者无穷大量的量级？

在本文中，荒原之梦考研数学将对这些问题做一一的解答。

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小细节大应用：根号一般都是从“二次”开始计算的

一、题目

$I =$
$lim_{x \to 0} \frac{(1 - \sqrt{\cos x}) (1 - \sqrt[3]{\cos x}) \dots (1 - \sqrt[n]{\cos x})}{(1 - \cos x)^{n - 1}}$ $=$ $?$

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低阶无穷小可以看作高阶无穷小的无穷大

一、题目

$I$ $=$
$lim_{x \to 0}$ $\frac{x \sin x^{2} - 2 (1 - \cos x) \sin x}{x^{4}}$ $=$ $?$

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无穷大转无穷小的一个常用策略：提取公因式构造分式

一、题目

$\begin{aligned} I \\ = lim_{x \to + \infty} (\sqrt[6]{x^{6} + x^{5}} - \sqrt[6]{x^{6} - x^{5}}) \\ = ? \end{aligned}$

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求极限的式子很复杂不知道怎么下手咋办：先看其“轮廓”

一、题目

$\begin{aligned} I \\ = lim_{x \to + \infty} {(\sin \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x})}^{x \cos \sqrt{\frac{x + 1}{x^{2}}}} \\ = ? \end{aligned}$

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