不对称的矩阵不是正定矩阵,主对角线上有负数或者零元素的矩阵也不是正定矩阵

一、题目题目 - 荒原之梦

下列矩阵中为正定矩阵的是哪一个?

A. $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{lll}8 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 5\end{array}\right)$

B. $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \\ 3 & 4 & -6\end{array}\right)$

D. $\left(\begin{array}{lll}5 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 6\end{array}\right)$

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2023年考研数二第16题解析:非齐次线性方程组、矩阵的子式、行列式的按行按列展开

一、题目题目 - 荒原之梦

已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}a x_{1}+x_{3}=1 \\ x_{1}+a x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0 \\ a x_{1}+b x_{2}=2\end{array}\right.$ 有解, 其中 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为常数。

若 $\left|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}\right|=4$. 则, $\left|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right|=?$

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用基础线性代数知识解释明白为什么由 AB=A 不一定能推出 B=E

一、前言 前言 - 荒原之梦

根据我目前掌握的信息,中文互联网上至少从 2012 年开始,就有人询问下面这类线性代数问题:

§ 如果 $AB=A$, 那么可以得出 $B=E$ 吗?

§ 为什么由 $AB = A$ 不可以推出 $B=E$?

虽然此后每隔几年都有人问上面这类问题,但是得到的解释要么涉及高等代数的概念,要么就仅仅是搬出来教材上给定的结论,直接说:$AB = A$ $\nRightarrow$ $B = E$——

上面这类解释其实都没能回答下面这两个核心疑问:

  1. 为什么由 $AB=A$ 不一定能推出 $B=E$?
  2. $B$ 应该是一个怎样的矩阵?

在本文中,荒原之梦网就利用最基本的线性代数知识,解释明白上面这两个疑问,大家继续往下看哦。

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2023年考研数二第10题解析:线性相关、齐次线性方程组

一、题目题目 - 荒原之梦

已知向量 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \beta_{1}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 9\end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$, 若 $\gamma$ 既可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性表示,也可由 $\beta_{1}, \beta_{2}$ 线性表示, 则 $\gamma = (\quad)$

(A) $k\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), k \in R$

(C) $k\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), k \in R$

(B) $k\left(\begin{array}{c}3 \\ 5 \\ 10\end{array}\right), k \in R$

(D) $k\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 8\end{array}\right), k \in R$

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2023年考研数二第09题解析:二次型的规范型

一、题目题目 - 荒原之梦

二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{1}+x_{3}\right)^{2}-4\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}$ 的规范形为 ( )

(A) $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$

(C) $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-4 y_{3}^{2}$

(B) $y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$

(D) $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$

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带着根号求导找极值很复杂,可以先平方去根号后再求导

一、题目题目 - 荒原之梦

曲线 $y=\ln x$ 上点的曲率具有性质:

(A) 最大值为 $\frac{2}{9} \sqrt{3}$

(B) 最小值为 $\frac{1}{8}$

(C) 最大值为 $\frac{1}{9} \sqrt{3}$

(D) 无最大值

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不具有什么关系的两个矩阵一定不是相似矩阵?

一、题目题目 - 荒原之梦

下列选线那个中,矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似的是哪个?

(A) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

(B) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 5\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2\end{array}\right]$

(C) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

(D) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & -3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 3 & \\ & & -2\end{array}\right]$

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无论方阵还是非方阵:秩为 2 就说明所有三阶子式的值全为零

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & 2 & a \\ 2 & 7 & a & 3 \\ 0 & a & 5 & -5\end{array}\right]$, 若 $r(\boldsymbol{A})=2$, 则 $a=?$

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单位矩阵对矩阵的影响:左行右列,先近后远

一、题目题目 - 荒原之梦

已知:

$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]
$$

$$
\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31}+a_{11} & a_{32}+a_{12} & a_{33}+a_{13}
\end{array}\right]
$$

$$
\boldsymbol{P}_{1}=\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

$$
\boldsymbol{P}_{2}=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

则必有:

(A) $A \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{2}=\boldsymbol{B}$

(B) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{P}_{1}=\boldsymbol{B}$

(C) $\boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$

(D) $\boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$

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伴随矩阵的运算性质你掌握了吗?

一、题目题目 - 荒原之梦

若 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 则下面不正确的运算是哪个?

(A) $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}$

(B) $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$

(C) $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}=|\boldsymbol{A}|^{n-2} \boldsymbol{A}$

(D) $(k \boldsymbol{A})^{*}=k \boldsymbol{A}^{*}$

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在矩阵转置和求逆运算中,系数应该遵循什么运算规则?

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均 $n$ 阶可逆矩阵, 正确的公式为:

(A) $(3 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{\top}}=\frac{1}{3} \boldsymbol{B}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$

(B) $(5 \boldsymbol{A B})^{-1}=5 \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1}$

(C) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$

(D) $(3 \boldsymbol{A}+5 \boldsymbol{B})^{\mathrm{\top}}=3 \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}+5 \boldsymbol{B}^{\mathrm{\top}}$

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注意命题推导的箭头“指向”

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵,下列命题中正确的是哪个?

(A) $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O} \Leftrightarrow \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$

(B) $\boldsymbol{A B} \neq \boldsymbol{O} \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$ 且 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$

(C) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O} \Rightarrow|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$

(D) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O} \Rightarrow|\boldsymbol{A}| \neq 0$ 且 $|\boldsymbol{B}| \neq 0$

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