荒原之梦，作者荒原之梦

一、题目

$lim_{n \to \infty} n [{(1 + \frac{1}{n})}^{n} - e] = ?$

难度评级：

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每日箴言：善良不是懦弱，强大不是蛮横

有原则有底线，知尊重会舍得，所以，最好的人生状态，既不是扶不上墙的“软”，也不是锋芒毕露的“刚”。

2024 年 10 月 03 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：美国东部时间 2024 年 10 月 14 日星期一下午 12 时 06 分，一枚搭载美国宇航局欧罗巴快船航天器的 SpaceX 重型猎鹰运载火箭从位于佛罗里达州的肯尼迪航天中心 39A 发射场发射升空。
Photographer: NASA/Kim Shiflett
Date Created: 2024-10-14
NASA ID: KSC-20241014-PH-KLS01_0049

连续型随机变量的分布函数为什么要从 $- \infty$ 大开始积分？

一、前言

我们知道，连续型随机变量 $ξ$ 的分布函数 $F$ 能够表示为非负可积的概率密度函数（分布密度函数） $p$ 在区间 $(- \infty, x)$ 上的积分，即：

$F (x) = \int_{- \infty}^{x} p (t) d t$

其中， $- \infty < x < + \infty$ .

但是，为什么对 $p (t)$ 的积分要从 $- \infty$ 开始呢？

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每日箴言：落差可以让人产生难以抑制的优越感，也可以让人坠入深渊

优越感是一种“落差”，深渊也是一种“落差”，优越感并不是源于真正的优秀，但沉迷于优越感，却可以让我们坠入真正的深渊。

2024 年 10 月 02 日

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描述：美国东部时间 2024 年 10 月 14 日星期一下午 12 时 06 分，一枚搭载美国宇航局欧罗巴快船航天器的 SpaceX 重型猎鹰运载火箭从位于佛罗里达州的肯尼迪航天中心 39A 发射场发射升空。
Photographer: SpaceX
Date Created: 2024-10-14
NASA ID: KSC-20241014-PH-SPX01_0001

连接函数极限与数列极限的桥梁：Heine 定理

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们介绍一下考研数学中很常用的“Heine 定理”。

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每日箴言：人是永恒孤独的个体，我们终其一生都在努力摆脱孤独

我们渴望认识与被认识，渴望看到与被看到，我们发明了语言文字以及各种各样的沟通与交通方式，都是为了与世界产生共鸣。从最简单的“你好”，到对地外空间的探索热情，乃至于战争与屠戮，都是为了交流，只是交流的反馈方式不同。人类所有的活动几乎只有两个目的，一个是活下去，另一个就是摆脱孤独。然而，永恒的孤独是人类与生俱来的宿命，也是人类社会发展的不竭动力。

2024 年 10 月 01 日

关于积分对函数奇偶性影响的一个扩展公式

一、前言

我们知道，一般情况下，积分会导致函数的奇偶性发生改变。例如，在下面的式子中，一般情况下，如果函数 $f (x)$ 是奇函数，则 $F (x)$ 就是偶函数；如果函数 $f (x)$ 是偶函数，则 $F (x)$ 就是奇函数：

$F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$

但是，如果我们要分析的是下面这个式子，则函数 $f (x)$ 的奇偶性会对函数 $F (x)$ 的奇偶性产生什么样的影响呢？

$F (x) = \int_{0}^{x} g (x) \cdot f (t) d t$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过详细的计算，给同学们讲明白这个问题。

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每日箴言：每一次披星戴月都是战袍加身

星辰的光芒可以擦亮盔甲，皎月的圣洁可以荡涤尘埃，仰望夜空，每一次闪耀，都是剑锋的寒光！

2024 年 09 月 30 日

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描述：搭载着 NAS 欧罗巴快船（Europa Clipper）号航天器的 SpaceX 重型猎鹰运载火箭竖立在了位于佛罗里达州的肯尼迪航天中心（Kennedy Space Center）39A 发射台。
Photographer: SpaceX
Date Created: 2024-10-13
NASA ID: KSC-20241013-PH-SPX02_0005

“两点确定一条直线”的思想在特例法中的应用

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助几何中“两点之间确定一条直线”的思想，帮助同学们理解什么时候可以使用特例法求解题目答案。

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每日箴言：人生是一场博弈

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | Secondary Creator Credit: NASA/JPL-Caltech

人生是一场博弈，没有人能够真正胜利，我们都在不断地经历成功与失败，这是一场注定不可能赢得的对局，但我们仍然要孤注一掷。

2024 年 09 月 29 日

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描述：这幅示意图展示了科学家们认为木星的卫星木卫二上稀薄大气层的形成机制——高能带电粒子从木卫二的表面扬起物质，产生的羽流也对木卫二的大气产生了影响。NASA 的欧罗巴快船号探测器将通过光谱仪以及“嗅探”从木卫二表面喷出的少量尘埃颗粒两种主要的方式探测木卫二的大气，以了解木卫二的大气中是否存在支持生命所需的成分和化学物质。
Secondary Creator Credit: NASA/JPL-Caltech
Date Created: 2024-10-11
NASA ID: PIA26107

复合函数求偏导的两种理解方式

一、题目

已知 $u$ $=$ $\frac{x + y}{2}$ , $v$ $=$ $\frac{x - y}{2}$ , $w$ $=$ $z e^{y}$ , 取 $u$ , $v$ 为新自变量， $w$ $=$ $w (u, v)$ 为新函数，请将下面的方程变换为以 $u$ 和 $v$ 为自变量的表示形式：

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} + \frac{\partial z}{\partial x} = z$

难度评级：

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每日箴言：人是因为有信念才成为了人

不是只有大写的人才有信念，每一个人都有信念。信念的高度与坚固程度，决定了一个人做事是否坚定。信念也许并不能总是引领我们走向正确或者成功，但没有信念注定会陷入失败。

2024 年 09 月 28 日

图解全概率公式

一、前言

全概率公公式的定义如下：

若事件 $A_{1}$ , $A_{2}$ , $\dots$ , $A_{n}$ 两两互斥，且 $\sum_{i = 1}^{n} A_{i}$ $=$ $Ω$ , $P (A_{i})$ $>$ $0$ , 其中 $i$ $=$ $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ , 则对于任一事件 $B$ , 有：

$P (B) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) P (B | A_{i})$

在本文中，「荒原之梦考研数学」就用图示的方式，让同学们能够直观地理解全概率公式。

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每日箴言：梦无止境，行则将至

没有无法逾越的高山，没有无法抵达的彼岸，纵横驰骋之间，梦想的辽阔疆域，就将徐徐展开。

2024 年 09 月 27 日

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描述：搭载着 NAS 欧罗巴快船（Europa Clipper）号航天器的 SpaceX 重型猎鹰运载火箭正在驶向位于佛罗里达州的肯尼迪航天中心（Kennedy Space Center）39A 发射台。
Photographer: SpaceX
Date Created: 2024-10-12
NASA ID: KSC-20241012-PH-SPX01_0006

关于 $\arctan$ 的一个恒等式及其证明

一、前言

下面这个恒等式是考研数学中和高等数学中一个很重要的恒等式：

$\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{π}{2}$

在本文中，荒原之梦考研数学将给同学们证明上面这个式子。

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作者：荒原之梦

证明无限趋于并不是等于的方法：放大无穷多倍

一、题目

每日箴言：善良不是懦弱，强大不是蛮横

连续型随机变量的分布函数为什么要从 $- \infty$ 大开始积分？

一、前言

每日箴言：落差可以让人产生难以抑制的优越感，也可以让人坠入深渊

连接函数极限与数列极限的桥梁：Heine 定理

一、前言

每日箴言：人是永恒孤独的个体，我们终其一生都在努力摆脱孤独

关于积分对函数奇偶性影响的一个扩展公式

一、前言

每日箴言：每一次披星戴月都是战袍加身

“两点确定一条直线”的思想在特例法中的应用

一、前言

每日箴言：人生是一场博弈

复合函数求偏导的两种理解方式

一、题目

每日箴言：人是因为有信念才成为了人

图解全概率公式

一、前言

每日箴言：梦无止境，行则将至

关于 $\arctan$ 的一个恒等式及其证明

一、前言