荒原之梦 – 第 47 页

趋同和去分母是积分运算中常用的解题思路

一、题目

$$
I = \int \frac{x \tan x}{\cos ^{ 4 } x} \mathrm{~d} x
$$

难度评级：

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求导会导致分式中分母的次幂增加：我们可以利用这个性质降低分母中的次幂

一、前言

我们知道，对 $\frac{u}{v}$ 求导（其中 $v \neq 0$），有如下公式：

$$
\left( \frac{u}{v} \right) ^{\prime} = \frac{u ^{\prime} v – u v ^{\prime} }{v ^{ 2 }}
$$

那么，这个公式除了可以用来对分式进行求导，还能用还做什么呢？

在接下来的文章中，「荒原之梦考研数学」就将为大家揭开谜底。

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每日箴言：每一座山峰，都经历了亿万年的历练，在无数个未与我们相遇的日子里，默默强大

所有的山峰，都是从地平线上拔地而起的，经历了一次次的日升日落，一次次的雨打风吹，才成长为今天的模样。

2024 年 06 月 20 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：双锥体锡石，化学式为 SnO2, 采自中国四川省平武县雪宝顶南麓，其边长约为 30 厘米。
作者：Alchemist-hp
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拍摄时间（当地时间）：2010 年 02 月 25 日 21 时 16 分
相机坐标：东经 104° 31′ 38.49″, 北纬 32° 25′ 05.61″
来源：wikimedia.org

考研数学中那些“各种各样”的矩阵

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学网（zhaokaifeng.com）将考研数学中常用的矩阵都做了一个汇总，方便同学们对不同矩阵的性质做对比，从而更深刻的理解这些矩阵之间的区别、联系与性质。

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微分的经典物理应用：底部匀速滑动的梯子问题

一、题目

已知有一个长度为 $10$ 米的梯子斜靠在垂直于地面的墙壁上，在 $t = 0$ 的时刻，这个梯子的最底端开始沿着水平的地面以 $2$ 米每秒的速度匀速向远离墙面的方向滑动，则在哪个时刻，该梯子最顶端沿着墙面方向下滑的速度也达到 $2$ 米每秒？

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每日箴言：学习是人的本能，也是人之所以为人的一个主要特征

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Dominicus Johannes Bergsma

人类在身体机能上并不是自然界中最强大的，我们今天的整个人类文明的构建，主要是建立在人类的智慧之上，而智慧的来源就是通过学习和思考。

2024 年 06 月 19 日

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描述：从位于荷兰东北弗里斯兰的维勒姆村的海堤望向瓦登海和水位尺。
作者：Dominicus Johannes Bergsma
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拍摄时间（当地时间）：2023 年 07 月 10 日 10 时 56 分 31 秒
相机坐标：东经 6° 01′ 03.94″, 北纬 53° 24′ 10.56″
来源：wikimedia.org

沿墙面滑动的梯子的水平速度与垂直速度的关系式

一、前言

如图所示，一个长度为 $L$ 的梯子斜放在墙面上并开始按照图中箭头所示的方向滑动，在时刻 $t$, 该梯子下端的水平滑动速度为 $v_{t}$, 垂直滑动速度为 $v_{y}$, 请求出 $v_{t}$ 与 $v_{y}$ 满足的关系等式。

沿墙面滑动的梯子的水平速度与垂直速度的关系式 | 荒原之梦考研数学 — 图 01.

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这个无穷小到底有多小？

一、题目

当 $x \rightarrow 0$ 的时候，判断下面这个无穷小式子的无穷小阶数：

$$
\tan (\sin x) – \sin (\tan x)
$$

难度评级：

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每日箴言：每一次长途的奔赴，都是为了下一次更近的相遇

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：pexels-ricky-esquivel-1907785

长途跋涉固然很辛苦，但正是一次又一次的长途跋涉，才有了越来越顺利的旅途，才有了边走边看风景的心情，也才有了我们告慰生命的一点点谈资。

2024 年 06 月 18 日

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描述：从纳尔维克到奥斯陆的 44819 号 CargoNet 185 型列车正在驶过温德尔河。
作者：Kabelleger / David Gubler
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拍摄时间（当地时间）：2023 年 03 月 26 日 09 时 56 分 35 秒
相机坐标：东经 19° 40′ 58.35″, 北纬 64° 09′ 48.78″
来源：wikimedia.org

长除法（多项式除法）的降幂和升幂两种计算方式简述

一、前言

长除法这种计算方式在计算两个多项式相除时非常有用，而且，长除法有“ 降幂 ”和“ 升幂 ”两种计算方式。

在本文中，荒原之梦考研数学将给同学讲明白下面这三个主要问题：

在长除法中，什么是“ 降幂 ”？什么是“ 升幂 ”？
怎么做降幂长除法？怎么做升幂长除法？
什么时候用降幂长除法？什么时候用升幂长除法？

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每日箴言：我们不知道有什么事物会亘古永存，但只要存在过，就不会消失

人类文明在亘古的长河中也许只是一瞬，但我们每个人曾经称赞过的美景，品尝过的美食，以及这世界万事万物的喜怒哀乐，都不曾也不会消失，所有这些都永久地刻录在了上一页的时空之中。

2024 年 06 月 17 日

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描述：日落时分，从美国亚利桑那州北部大峡谷的马瑟点 (Mather Point) 看到的大峡谷南缘和北缘。
作者：Mgimelfarb
授权协议：本作品采用知识共享 CC0 1.0 通用公有领域贡献许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2018 年 05 月 03 日 14 时 13 分
相机坐标：未知
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分子越复杂越好算，分母越复杂越难算：在分母中构造分式，可以将分母中的内容往分子中转移

一、题目

$$
I = \int \frac { \mathrm { d } x } { 1 + \sin x + \cos x } = ?
$$

难度评级：

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每日箴言：真正的甘霖，总是润物无声；真正的热爱，从来不需要路人皆知

埋头去做你热爱的事情，不去抱怨，不去安慰，只是去做，认真的，细致的，贪婪般渴求的，去做。

2024 年 06 月 16 日

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描述：与银河成一直线的人正在英仙座流星雨下寻找流星，摄于瑞士的厄希嫩湖。
作者：Giles Laurent
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拍摄时间（当地时间）：2022 年 08 月 01 日 02 时 58 分 07 秒
相机坐标：东经 7° 42′ 54.7″, 北纬 46° 29′ 51″
来源：wikimedia.org

公式：已知 tan 的值，求 sin 和 cos 的值

一、前言

已知 $\tan \frac{x}{2}$ $=$ $t$, 则：

$$
\sin x = ?
$$

$$
\cos x = ?
$$

$$
\tan x = ?
$$

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要学好考研数学，首先要掌握三个“心”

一、前言

考研数学是整个考研学习期间一个很大的“拦路虎”，考研数学的学习也是一个努力了但不一定立即有成效的过程，这也使得很多同学在学习考研数学的时候出现“畏惧感”。

为了帮助同学们尽快适应考研数学的学习节奏，明确考研数学的学习方式，「荒原之梦考研数学」在本文中将通过“静心”、“信心”和“恒心”这三个方面，给大家考研数学备考提供一些经验和建议。

二、正文

考研数学其实是可以短期“速成”的，这是因为：

考研的同学们大部分都有高等数学、线性代数和概率统计等课程的学习经历，学习考研数学，其实就是在复习学过的知识；
考研是一个全国性的考试，不是面向特定一小部分人的竞赛，所以题目难度还是比较容易接受的。

综合上面的内容，我们可以知道，考研数学不是非常难，大部分同学都是可以通过努力在考研数学上获得不错分数的。

但是，我们也不能认为考研数学很简单，因为这毕竟涉及到数百万考生的升学深造，必须要有一定的区分度。

因此，为了学好考研数学，更有把握地获得目标分数，我们要努力做好一下几点：

静心

一定要能静心。考研数学不能靠玩套路的方式学习，任何技巧、任何名师都无法代替踏踏实实的学习，全身心投入的学习；

信心

一定要有信心。很多同学之所以做题错误率高，或者拿到一个题目常常感觉无从下手，一部分原因就是对数学产生了畏惧心理，不相信自己可以做出来这些题目，从而真的做不出来了。根据前面的分析，大家也知道，考研数学并不是一种竞赛，虽然要有区分度，要设置一定的难度，但这个难度是我们可以凭借努力而不是天分跨越的，所以，一定要经常地给自己积极的暗示，并且做题的时候不要轻易说自己不会做，只要我们掌握了基础知识，这些题目就有可能被我们独立解答出来。